Oi Claudio, De fato, esqueci de dizer que A eh nao vazio.
Esta prova de fato cobre todos os espacos topologicos de Hausdorff sequencialmente compactos, o que inclu todos os espacos metricos. Eu havia comecado uma prova que foi ateh o ponto em que vc usou a propriedade de sequencialmente compacto. Ateh ai, nada muda na sua prova, pois em espacos de Hausdorff vale o teorema dos compactos enxaixados, porque nestes espacos conjuntos compactos sao fechados. Espacos de Hausdorff compactos e nao-metricos nao tem que ser sequencialmente compactos, mas a sua ideia da sequencia talvez possa ser generalizada para o conceito de rede. Em espacos compactos nao-metricos sequencias nao tem que conter uma subsequencia convergente, mas se substituirmos sequencia por rede, talves sua prova se mantenha. Abracos Artur Imagino que voce tambem queira que A seja nao-vazio... Enfim, segue abaixo uma demonstracao que supoe que X eh sequencialmente compacto, ou seja, que toda sequencia em X tem uma subsequencia convergente para algum ponto de X. Sejam: X_0 = X; X_1 = f(X_0), X_2 = f(X_1), ..., X_(k+1) = f(X_k), ... Repare que cada X_k eh compacto (imagem de um compacto por uma funcao continua) e que que X_(k+1) estah contido em X_k: X_1 estah contido em X_0. Logo, X_2 = f(X_1) estah contido em f(X_0) = X_1. Por inducao: X_(k+1) = f(X_k) estah contido em f(X_(k-1)) = X_k. Tambem por inducao, verificamos que: X_(k+1) <> vazio, por ser a imagem por f de X_k <> vazio. Ou seja, X_0 > X_1 > X_2 > ... > X_k > ... eh uma sequencia decrescente de compactos nao-vazios (cada um contido no anterior). Seja A = Interseccao(k>=0) X_k. Pelo teorema dos compactos encaixados (devido a Cantor, se nao me engano), A eh compacto e nao-vazio. Alem disso, como X_1 eh um subconjunto proprio de X_0 = X, A eh um subconjunto proprio de X. Finalmente, repare que: A = Inter(k>=0) X_k = Inter(k>=0) X_(k+1) = Inter(k>=0) f(X_k) Logo, como f(Inter(k>=0) X_k) estah contida em Inter(k>=0) f(X_k), concluimos que: f(A) estah contida em A. Por outro lado: z pertence a A = Inter(k>=0) X_(k+1) ==> z pertence a X_(k+1), para todo k >= 0 ==> z pertence a f(X_k), para todo k >= 0 ==> existe uma sequencia (x_k)(k>=0), com x_k em X_k tal que: z = f(x_k), para todo k >= 0. Como X eh compacto, passando a uma subsequencia, se necessario, podemos supor que x_k -> x. Como, para j >= k, x_j pertence a X_k, temos que x pertence a X_k, para cada k >= 0. Logo, x pertence a Inter(k>=0) X_k = A. Como f eh continua, f(x_k) -> f(x), o qual pertence a f(A). Mas (f(x_k)) eh uma sequencia constante, igual a z. Logo, z = f(x), ou seja, z pertence a f(A) ==> A estah contido em f(A). Em suma, A = f(A) eh o conjunto invariante procurado. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 15 May 2007 09:59:43 -0300 Assunto: [obm-l] Espacos compactos e funcoes continuas > > Ainda nao consegui encontra uma prova para este teorema, parece interessante: > > Seja (X, T) um espaco de Hausdorff compacto (para facilitar, podemos ver X > como um espaco metrico) e seja f uma funcao continua de X em X. Se f(X)for um subconjunto proprio de X, existe entao um subconjunto invariante e proprio de X. Dizemos que um subconjunto A de X eh invariante se f(A) = A. > > A afirmacao acima pode nao ser verdadeira se X nao for compacto. > > Na terminologia da Topologia, diz-se que (X, T), um conjunto X e uma > topologia T em X, eh um espaco de Hausdorff se, para todos elementos distintos x1 e x2 de X, existirem vizinhanca disjuntas V1 de x1 e V2 de x2, isto eh, elementos distintos podem ser separados por vizinhancas. Todo espaco metrico eh de Hausdforff. > > Artur > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================