a) A condicao dada eh a condicao de Lipschitz, no caso com constatnte 1. De modo geral, f eh Lipschitz se existir uma constante positiva k tal que |f(u) - f(v)| <= k|u-v| para todos u e v do intervalo. Para todo eps >0, se escolhermos d = eps/k, entao, para todos u e v do intervalo que satisfacam a |u - v | < d, temos |f(u) - f(v)| < k eps/k = eps, o que mostra que f e nao apena continua, mas uniformemente continua no intervalo.
b)Sendo continua em [a, b], f eh automaticamente integravel em [a, b]. Isto nao eh hipotese, mas conclusao. Para todo x de [a, b], temos que |(integral de a ate b f(u)du) - (b-a)f(x)| = |(integral de a ate b (f(u) - f(x)) du| <= integral de a ate b |(f(u) - f(x)| du. Pela condicao de Lipschitz, |(f(u) - f(x)| <= |u -x| => integral de a ate b |(f(u) - f(x)| du <= integral de a ate b |u-x| dx. Vemos facilmente que esta integral eh uma funcao quadratica de x na qual o coeficiente de x^2 eh negativo e simetrico com relacao ao eixo vertical x = (a + b)/2. Assim o maximo ocorre nos extremos do intevalo, para x= aou x =b, pois sao simetricos com relacao ao eixo. Para todo x de [a, b] temos portanto que |(integral de a ate b f(u)du) - (b-a)f(x)|<= Inte (a, b) |u - a| du = Int (a,b) (u-a) du = (b^2 - a^2)/2 - a(b -a)= (b^2 - a^2 -2ab + 2a^2)/2 = (b^2 - 2ab + b^2)/2= (b -a)^2, que eh a desigualdade procurada. Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Adriano Torres Enviada em: domingo, 27 de maio de 2007 01:49 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Apostol - Continuidade Seja f uma função tal que |f(u) - f(v)| <= |u-v|, para todo u e v no intervalo [a,b]. a)Prove que f é continua em cada ponto de [a,b] b)Considerando f integrável em [a,b], prove que |(integral de a ate b f(x)dx) - (b-a)f(x)| <= ((b-a)^2)/2 Valeu pela ajuda. Esse livro é tenso! _________________________________________________________________ O Windows Live Spaces é seu espaço na internet com fotos (500 por mês), blog e agora com rede social http://spaces.live.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
