An = A(n+1) + r
1/A1xA2 = 1/rA1 - 1/rA2 = (A2 - A1)/rA1A2 = r/rA1A2 = 1/A1A2
1/A2xA3 = 1/rA2 - 1/rA3
1/A3xA4 = 1/rA3 - 1/rA4
1/A4xA5 = 1/rA4 - 1/rA5
1/n(n+1) = 1/rAn - 1/rA(n+1)
Soma seria= 1/rA1 - 1/rA(n+1) = (A(n+1) - A(1))/rA1A(n+1)
A(n+1) = A1 + nr
n/A1A(n+1)
desta forma difere apenas o termo r da razão no denominador: e tal soma
seria:
----- Original Message -----
From: "Tales Prates Correia" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Wednesday, May 23, 2007 8:02 PM
Subject: [obm-l] fórmula geral para a soma S
Olá integrantes da lista,
Eu me deparei com um problema - talvez bastante conhecido de vocês -
o qual pedia para determinar a seguinte soma:
S(1) = 1/1x2 + 1/2x3 + 1/3x4 + 1/4x5 + . . . + 1/n(n+1)
Conseguintemente, eu encontrei o seguintes exercícios análogos:
S(2) = 1/1x3 + 1/3x5 + 1/5x7 + 1/7x9 + . . . + 1/(2n-1)(2n+1)
S(3) = 1/1x4 + 1/4x7 + 1/7x10 + 1/10x13 + . . . + 1/(3n-2)(3n+1)
Depois de os ter resolvido, eu procurei achar uma fórmula geral para a
soma
das n primeiras parcelas do seguinte tipo de somatório:
S = 1/(A1)x(A2) + 1/(A2)x(A3) + . . . + 1/(An-1)x(An) + . . .
onde a seqüência f = (A1, A2, A3, . . . , An, . . .) constitui uma
progressão aritmética de primeiro termo A1 = A e razão r tal que r é
diferente
-A/q , com q natural não nulo.
E após raciocionar um pouco, cheguei a seguinte fórmula:
S = (n-1)/(A1)x(An)
Todavia, não fiquei satisfeito com a dedução por mim realizada.
Por isso, peço encarecidamente que alguém me mostre o seu raciocínio para
o
mesmo problema.
Agradeço desde já,
Átila Prates Correia.
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On 5/23/07, Anselmo Alves de Sousa <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Pensei em alguma coisa assim:
1)
Considerando que em cada tentativa, cada chave tem a mesma chance de ser
escolhida. Seja
X é a variável aleatória número de tentativas até que a porta se abra pela
primeira vez.
P(X=1)=1/n
P(X=2)=1/n*1/(n-1)
P(X=3)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)
.
.
.
P(X=k)=1/n*1/(n-1)*1/(n-2)* ...*1/(n+1-k)
Anselmo, pela sua resposta reparei um descuido tremendo na minha... Na
primeira, fiz besteira.
2) Encontrei 0,037 e 0,2702
Na segunda, concordamos.
3) Encontrei [p - (1-p)/m] e (1-p)/m
No segundo item da 3 também concordamos, mas quanto ao primeiro (que está
errada na minha resposta anterior)...
A chance dele responder corretamente é p ou não p e 1/m, certo? Não
entendi
a razão do menos na sua resposta, ali não seria um mais?
Um abraço.
Valdoir Wathier.
ALguém confirma esses valores?!
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Date: Wed, 23 May 2007 14:21:32 -0300
From: [EMAIL PROTECTED]
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Três Problemas de Probabilidade
On 5/23/07, *Anselmo Alves de Sousa* <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Companheiros, gostaria de auxílio nas seguintes questões:
1) Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele
seleciona, a cada tentativa,
uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual a
probabilidade de que ele abra a porta
na k-ésima tentativa (k=1,2,3...,n).
Todas têm exatamente a mesma chance de abrir a porta, que corresponde a
1/n e de não abrir a porta, por consequencia, a chance é de (n-1)/n, para
qualquer chave.
A probabilidade de que uma dada chave abra a porta é de que nenhuma das
anteriores abra a porta e que ela abra.
Por exemplo: Qual a probabilidade de a terceira chave abrir a porta?
A primeira chave não abre: (n-1)/n.
A segunda chave não abre: (n-1)/n.
A terceira chave abre: 1/n.
A probabilidade, então, seria de [(n-1)/n]^2 * 1/n
Por este mesmo raciocínio, para saber o resultado geral, basta pensar que
teremos k-1 portas que não devem abrir a chave e então uma porta que abre,
ou seja:
[(n-1)/n]^(k-1) * 1/n... isso pode ser simplificado ficando algo como (n -
1)^(k-1) / n^k
Acho que é algo nessa linha.
2) Três máquina A, B e C produzem 50%, 30% e 20%, respectivamente, do
total de peças de uma fábrica.
As porcentagens de produção defeituosa destas máquinas são 3%, 4% e 5%. Se
uma peça é selecionada
aleatoriamente, ache a probabilidade de ela ser defeituosa. Se a peça
selecionada é defeituosa, encontre a
probabilidade de ter sido produzida pela máquina C.
Probabilidade de ser defeituosa: Para isso você pega o percentual de
produção de cada máquina e multiplica pelo percentual de peças com defeito
que cada uma produs.
ATENÇÃO: estou considerando que os 3% significam que do total de peças
produzidas pela máquina A, 3% apresentam defeito (acho que isto não está
bem
claro no enunciado, pois pode referir-se ao total de peças também).
Máquina A: 0,5 * 0,03 = 0,015 (1,5% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina A).
Máquina B: 0,3 * 0,04 = 0,012 (1,2% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina B).
Máquina C: 0,2*0,05 = 0,01 (1% das peças possuem defeito E foram
produzidas pela máquina C).
A probabilidade da peça ser defeituosa é 1,5% + 1,2% + 1% = 3,7%.
Sabendo que ela é defeituosa, qual a probabilidade de ter sido produzida
pela máquina C?
A maquina C responde por 1/3,7 das peças defeituosas, então, a
probabilidade é de aproximadamente 27%.
3) A probabilidade de que um aluno saiba a resposta de uma questão de um
exame de múltipla escolha é p.
Há m respostas possíveis para cada questão, das quais apenas uma é
correta. Se o aluno não sabe a resposta para uma dada questão, ele escolhe
ao acaso uma das m respostas possíveis.
a) Qual é a probabilidade de o aluno responder corretamente uma questão?
1/m
b) Se o aluno respondeu corretamente à questão, qual é a probabilidade de
que ele tenha "chutado" A resposta?
Há duas formas dele acertar. A primeira é sabendo a questão, o que
corresponde a P, a segunda é, se não souber (não p), chutar e acertar.
Ainda
poderia chutar e errar, mas já sabemos que acertou, então, a probabilidade
de que ele tenha chutado é a probabilidade de: ele NÃO saber (que
corresponde a probabiliade dele chutar) E acertar.
(1 - p)*(1/m) = (1-p)/m
Desde já grato pela sua ajuda!
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Espero que ajude,
Valdoir Wathier.
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