Oi, Ponce,
Adorei, mas depois neguinho te chama de velho e você não pode
reclamar. Mas que tavam complicando ah... lá isto isto
tavam........ Método de Newton (acho que tinha um tal de Raphson
também, ou tô caduco?), ora pipocas, como diria minha velha...
Grandes abraços,
Nehab
At 11:30 16/6/2007, you wrote:
Ola' pessoal,
queria lembrar que nao e' necessario software especial, e nem
computador para calcularmos as raizes de 2^x = x^2 . Qualquer
calculadora cientifica da' conta do recado, antes que o XP entre no ar...:-)
Brincadeiras 'a parte, vamos ao trabalho !
Relembrando o metodo de Newton : para uma funcao "bem comportada"
y=f(x) , a aplicacao sucessiva de
x2 = x1 - y1/ f'(x1)
a partir de um ponto "x1" , que esteja "na vizinhanca" de uma raiz
de f(x) , nos leva 'a propria raiz.
Considerando nossa funcao
y=2^x - x^2
temos que
x2 = x1 - (2^x - x^2) / ( 2^x * ln2 - 2*x )
Conforme o Nehab havia dito, vemos que uma das raizes esta' entre 0 e -1.
Tomando-se x1 = -0.5 , obtemos x2=-0.8067565 .
Reintroduzindo esse valor em x1, obtemos o proximo x2=-0.7673536
Na terceira iteracao, obtemos x2= -0.76666491 , e na quarta iteracao
x2=-0.766664696 .
Nada mal, para quem dispuser de apenas 5 minutos, lapis, papel e uma
calculadora barata...
[]'s
Rogerio Ponce
Érica Gualberto Pongelupe <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Oi Todo mundo
use um software de geometria dinâmica, por exemplo, o Cabri, ou
mesmo um software do tipo Graphmatica que vc verá claramente as três raizes.
Abração
Érica
Oi, Arthur (e Julio),
Você esqueceu que x pode ser negativo. Para x positivo, ok. Mas,
faça um grafiquinho simples de y = x^2 e y = 2^x e você veráque
obviamente há uma raiz negativa.... (entre -1 e 0).
Abraços,
Nehab
At 11:08 15/6/2007, you wrote:
Por inspecao, vemos que 2 e 4 sao raizesdesta equacao. Resta agora
analisar se hah outras raizes. Temos 2^x = x^2se, e somente se, x
ln(2) = 2 ln(x), ou seja, sse ln(x)/x = ln(2)/2. Sejaa funcao
definida em (0, oo) por f(x) = ln(x)/x. Temos que f'(x) = (1
-ln(x))/x^2, do que concluimos que f' se anula em x* = e. A
esquerdade e, f' eh positiva e, aa direita, eh negativa, o que nos
mostra que fpassa por um maximo global em x* = e, para o quel f(x*)
= 1/e. Destaforma, f eh estritamente crecente m (0, e) e
estritamente decrescente em(e, oo). Temos ainda que f eh continua,
que lim x -> 0+ f(x) = -oo eque lim x -> oo f(x) = 0. Isso implica
que, em (0, e) f assuma umaunica vez todos os reais em (-oo, 1/e) e
que, em (e,oo) , assuma umaunica vez todos os reais em (1/e,
0). Concluimos assim que , paraa>0, a<>1/e, a equacao ln(x)/x = a
tem exatamente duas raizes emR. Como ln(2)/2 <> 1/e, ha exatamente
2 reais satisfazendo ln(x)/x= ln(2)/2. Logo, 2 e 4 sao as duas
unicas raizes reais de 2^x = x^2.
Serah que hah outras raizes complexasnao reais?
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED]:[EMAIL PROTECTED]
nome de Julio Sousa
Enviada em: quinta-feira, 14 de junho de 2007 19:38
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] 2^x = x^2
achar as raÃzes de 2^x = x^2
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Atenciosamente
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Júlio Sousa
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