Só não entendi como que a partir da desigualdade c(t-a,t) < c(t-a,t+a)<c(t,t+a) ele chegou que: c(-1,0) < c(-1/2,0) < c(-1/4,0) < c(-1/8,0) < ... ... < c(0,1/8) < c(0,1/4) < c(0,1/2) < c(0,1)." Vlw.
----- Mensagem original ---- De: Maurício Collares <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 30 de Junho de 2007 18:03:48 Assunto: Re: [obm-l] russia 1999 On 6/30/07, Danilo Nascimento <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > bom ele chamou r=t+a e s=t-a. ficando (f(t+a)+f(t-a))/2>f(t). Agora > "Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0." > Que desigualdade eh essa? Imaginando o gráfico fica mais fácil. Estamos supondo que a condição do problema não vale para nenhum par de pontos, logo o ponto (t, f(t)) está abaixo da reta que liga os pontos (t-a, f(t-a)) e (t+a, f(t+a)) (faça o desenho para visualizar melhor). Assim, o coeficiente angular da reta que liga os pontos de abscissas t-a e t+a é *maior* que o coeficiente angular da reta que liga os ponto de abscissas t-a, pois o coeficiente angular da primeira é (f(t+a) - f(t-a))/2a e o da segunda é (f(t) - f(t-a))/a. Assim, usando a desigualdade (f(r)+f(s))/2 > f((r+s)/2), temos (lembre que a desigualdade citada está sendo usada porque estamos executando uma prova por contradição): (f(t+a) - f(t-a))/2a = (f(t+a) + f(t-a) - 2f(t-a))/2a = ((f(t+a) + f(t-a))/2 - f(t-a))/a >= f(t)/a - f(t-a)/a = (f(t) - f(t-a))/a Isso prova a primeira metade da desigualdade enunciada pelo Nicolau (c(t-a,t) < c(t-a,t+a)). Podemos fazer algo similar para a segunda desigualdade, mas, sinceramente, fazer isso algebricamente é apenas um exercício de formalismo: as idéias estão contidas no desenho, e podem ser traduzidas. Se você não conseguir, me avise que eu refaço. Os coeifcientes precisam ser inteiros porque o contradomínio da função é o conjunto Z. Como o coeficiente angular é definido por (delta Y)/(delta X) e temos que o delta Y é inteiro (pois o contradomínio é Z) e o delta X foi escolhido para ser um inverso de inteiro (estes são os 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... da mensagem do Nicolau), acabamos concluindo que tal quociente é inteiro. -- Abraços, Maurício ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ Novo Yahoo! Cadê? - Experimente uma nova busca. http://yahoo.com.br/oqueeuganhocomisso