Olá novamente Klaus,
acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam
caso esteja errada...:)
Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da
circunferencia pedida.
O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos
segmentos MN e MA.
1) Trace a reta OA, OM, OX, XA.
2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA.
3) Chame o ponto da interseccao de P.
Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R.
O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i)
O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii)
O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii)
Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv)
Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2.
Mas, sabemos que a + b = k.
Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2 .... k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2
b = (k^2 - r^2)/(2k)
veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo).
Deste modo, o comprimento "b" é constante. Consequentemente, "a" é constante.
Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta
que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e
A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos
constantes (isto é, nao variam com a escolha de M).
Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M).
Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada).
Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o
segmento OA em "b" e "a" e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos
X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente
em "b" e "a" para qualquer posicao de M.
Deste modo, X sempre pertence a esta reta.
Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande
outra mensagem.
abracos,
Salhab
On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá Klaus,
ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao..
se eu conseguir pode deixar que eu mando..
tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :)
abracos,
Salhab
On 7/10/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
>
> Ola Marcelo,
> será q vc num consegue algum modo de fazer usando
> geometria sintética?
> vlw.
>
>
> ----- Mensagem original ----
> De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48
> Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana
>
>
> Olá,
> pensei em uma abordagem usando vetores..
> vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os
> vetores M e A..
> como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o
> encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA..
> M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z)..
> x = produto vetorial
> . = produto escalar
>
> V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA
> (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA...
> portanto, esta reta já esta determinada..
>
> V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN
> 0.. este é um ponto da demana de MN
> portanto, esta reta tambem já esta determinada..
>
> temos que encontrar X, tal que:
> X = (A+M)/2 + s*V1
> X = t*V2
>
> X é o centro da circunferencia pedida..
> (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk]
> fazendo o produto escalar por M, temos:
> [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M]
> [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0
> s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]}
>
> assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima..
> agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir..
>
> vou fazer aki mais tarde... dai eu mando
>
> abracos,
> Salhab
>
>
> On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >
> > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma
> > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M
> um
> > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar
> o
> > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N
> > quando M varia.
> >
> > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente,
> porém
> > deu muitas contas e acabou num dando em nada.
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