Boa Marcelo. Até tinha pensado nessa reta perpendicular OA passando por x mas nem me liguei q poderia fazer as contas e ver que PO e PA eram constantes. Valeu.
----- Mensagem original ---- De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 11 de Julho de 2007 3:15:51 Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana Olá novamente Klaus, acho que consegui uma solucao por geometria.. peco que me corrijam caso esteja errada...:) Sejam O, A, M os pontos conforme o enunciado. Seja X o centro da circunferencia pedida. O ponto X é encontrado pelo encontro das mediatrizes (hehe) dos segmentos MN e MA. 1) Trace a reta OA, OM, OX, XA. 2) Trace a reta que passa por X e é perpendicular a OA. 3) Chame o ponto da interseccao de P. Vamos chamar OP = b, PA = a, OA = k, XP = d, XA = XM = R. O triangulo XPA é retangulo em P, logo: R^2 = a^2 + d^2 (i) O triangulo XPO é retangulo em P, logo: c^2 = d^2 + b^2 (ii) O triangulo XOM é retangulo em O, logo: R^2 = c^2 + r^2 (iii) Substituindo (ii) em (iii), temos: R^2 = d^2 + b^2 + r^2 (iv) Fazendo (iv) - (i), temos: a^2 = b^2 + r^2. Mas, sabemos que a + b = k. Assim: (k-b)^2 = b^2 + r^2 .... k^2 - 2kb + b^2 = b^2 + r^2 ... 2kb = k^2 - r^2 b = (k^2 - r^2)/(2k) veja que k é o tamanho do segmento OA (constante, pois A é fixo). Deste modo, o comprimento "b" é constante. Consequentemente, "a" é constante. Isto é: Para qualquer ponto M na circunferencia de raio "r", a reta que passa pelo centro da circunferencia pedida (que passa por M, N e A) e é perpendicular a reta OA, divide o segmento OA em 2 segmentos constantes (isto é, nao variam com a escolha de M). Deste modo, X só pode se situar nesta reta (para todo valor de M). Assim, o lugar geometrico é uma reta (que esta determinada). Uma outra argumentacao seria: existe uma unica reta que divide o segmento OA em "b" e "a" e é perpendicular ao segmento. Quando ligamos X perpendicularmente ao segmento OA, ele divide o segmento exatamente em "b" e "a" para qualquer posicao de M. Deste modo, X sempre pertence a esta reta. Acho que a explicacao nao ficou muito clara.. qualquer coisa mande outra mensagem. abracos, Salhab On 7/11/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Olá Klaus, > ja dei uma pensada mas ainda nao consegui achar uma solucao.. > se eu conseguir pode deixar que eu mando.. > tem mta gente boa de geometria aqui na lista.. ja ja mandam a solucao :) > > abracos, > Salhab > > > On 7/10/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Ola Marcelo, > > será q vc num consegue algum modo de fazer usando > > geometria sintética? > > vlw. > > > > > > ----- Mensagem original ---- > > De: Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> > > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > > Enviadas: Terça-feira, 10 de Julho de 2007 1:46:48 > > Assunto: Re: [obm-l] iberoamericana > > > > > > Olá, > > pensei em uma abordagem usando vetores.. > > vamos dizer que nossa circunferencia esta na origem.. e conhecemos os > > vetores M e A.. > > como sabemos, o centro da circunferencia que passa por M, N e A é o > > encontro das medianas dos segmentos de reta MN e MA.. > > M, N e A sao vetores no plano XY (isto é, nao possuem componente em Z).. > > x = produto vetorial > > . = produto escalar > > > > V1 = (M-A) x k .. este é o vetor diretor da mediana de MA > > (A+M)/2.. este é um ponto da mediana de MA... > > portanto, esta reta já esta determinada.. > > > > V2 = M x k ... este é o vetor diretor da mediana de MN > > 0.. este é um ponto da demana de MN > > portanto, esta reta tambem já esta determinada.. > > > > temos que encontrar X, tal que: > > X = (A+M)/2 + s*V1 > > X = t*V2 > > > > X é o centro da circunferencia pedida.. > > (A+M)/2 + s*[(M-A)xk] = t*[Mxk] > > fazendo o produto escalar por M, temos: > > [(A+M)/2].M + s*[(Mxk).M - (Axk).M] = t*[(Mxk).M] > > [A.M + M.M]/2 - s*[(Axk).M] = 0 > > s = [A.M + M.M]/{2*[(Axk).M]} > > > > assim: X = (A+M)/2 + s*[(M-A)xk], onde s esta acima.. > > agora, temos que A = (xa, ya) ; M = (xm, ym) ... substituir.. > > > > vou fazer aki mais tarde... dai eu mando > > > > abracos, > > Salhab > > > > > > On 7/9/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > > (Iberoamericana-2004)-Considera-se no plano uma > > > circunferência de centro O e raio r, e um ponto A exterior a ela. Seja M > > um > > > ponto da circunferência e N o ponto diametralmente oposto a M. Determinar > > o > > > lugar geométrico dos centros das circunferências que passam por A, M e N > > > quando M varia. > > > > > > ps. Eu tenho quase que certeza que é uma reta. Tentei analiticamente, > > porém > > > deu muitas contas e acabou num dando em nada. > > > Flickr agora em português. Você cria, todo mundo vê. Saiba mais. > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > > ________________________________ > > Novo Yahoo! 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