Olá Kleber, vamos dar uns chutes para x e y e encontrar umas propriedades dessas funcoes: y=0... f(x+0) = f(x) + f(0) .... f(0) = 0 x=-y... f(x-x) = f(x) + f(-x) .... f(-x) = -f(x) [funcao impar] x=y... f(x+x) = f(x) + f(x) .... f(2x) = 2f(x) [por inducao, facilmente mostramos que f(nx) = nf(x) para todo n natural] como f(nx) = nf(x), para n natural, e f(-x) = -f(x), temos que: f(-nx) = -f(nx) = -nf(x) ... assim, podemos extender para os inteiros.. vamos dizer que: p/q = a, mdc(p,q)=1, p, q inteiros.. p = aq ..assim: f(px) = pf(x)... f(aqx) = pf(x) ... mas q é inteiro, logo: f(qax) = qf(ax) assim: qf(ax) = pf(x) .... f(ax) = p/q f(x) = af(x) .... logo, vale para os racionais tb... ----- [daqui para baixo (até os proximos -----) estou chutando.. acredito que alguem aki da lista pode confirmar o q estou dizendo ou me corrigir!] e agora? como generalizar isso para os irracionais? acredito que é justamente usando o seu exercicio... supondo que lim {x->a} f(x) = f(a).. vamos particionar os reais.. R = Q U R\Q ... para x E Q, temos: lim {x->a} f(x) = lim{k->a} f(kx) = lim{k->a} kf(x) = af(x) para x E R\Q, temos que ter: lim {x->a} f(x) = af(x), pois, caso contrario, f(x) nao seria continua em todos os pontos. logo: f(ax) = af(x) para todo a real... assim: f(x) = f(1*x) = x*f(1) .... f(x) = kx, onde k=f(1)... portanto, a unica funcao com essas propriedades é: f(x) = kx... ------
agora o que foi pedido: vamos supor que lim {x->0} f(x) = f(0) [continuidade na origem] isto é: para todo eps>0, existe um delta>0, tal que: |x| < delta implica: |f(x)| < eps fazendo x = y-a, temos: |y-a| < delta implica |f(y-a)| = |f(y) + f(-a)| = |f(y) - f(a)| < eps.. logo: lim {x->a} f(x) = f(a)... (cqd) abracos, Salhab On 7/11/07, Kleber Bastos <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Seja f: R->R tq f(x+y) = f(x) + f(y) ( para todo x,y E R ) Mostrar que , se f é continua na origem, então f é contínua em R. -- Kleber B. Bastos
========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================