Oi De fato é a série de Taylor, que no caso der polinômios acaba tendo um número finito de termos não nulos. Mantendo nosa terminologia, suponhamos que k| N = P(10), 0 < k < 10, e seja r = 10 - k. Então, N = P(10) = P(k + r) = P(r) + k P'(r) + ...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r), sendo esta ultima formula o teorema de Taylor. Como os coeficientes de P sao inteiros, os de suas derivadas tambem o sao. Como r eh inteiro, concluimos imediatamente que, se k|P(r) = P(10 - k), entao k|N. E se k|N, entao P(r) = P(10 - k) = N - P(r) - k P'(r) ...- ...(k^n)/n! d^n/dx^n P(r) eh dado pela diferenca entre 2 inteiros multiplos de k. Logo, k|P(10 - k). Na realidade, nao precisamos supor que k esteja entre 0 e 10, basta que seja positivo. E tambm nao temos que noss restringir aa base decimal. Podemos tambem chegar a estas conclusoes da forma que vc citou. Abracos Artur
-----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quinta-feira, 16 de agosto de 2007 13:41 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: RES: [obm-l] divisibilidade II Oi, Artur Seja N o número que, na base 10, tem representação, a_n a_(n-1).....a_0 e seja P o polinomio dadao por P(x) = a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1).......+ a_0. Temos, entao, que N = P(10). Ok Sendo 0 < k < 10 um inteiro, então o teorema de Taylor, particularizado para polinômios, nos mostra que k|N se, e somente se, k | P(10 - k). Você se refere à série de Taylor? Não entendi o porque da série de Taylor justificar k | N sss k | P(10-k) (se for óbvio, não tô "vendo"...:-) Que isto é verdade eu concordo, pois a diferença entre P(10) e P(10-k) é uma "combinação linear inteira" de expressões 10^p - (10-k)^p que obviamente são divisíveis por k, pois a^p - b^p tem fator a-b = k). No caso, k = 7 e nosso polinômio tem os 99 primeiros coeficientes iguais a 9 e o das unidades igual a 6. Como este numero e 3^100 - 4, ... Você quis dizer 10^100 - 4, certamente. que vimos ser divisivel por 7, segue-se que P(3) é divisível por 7. E temos que P(3) = 9 *3^99 + 9 * 3^98.....+ 9 * 3 + 6 =o 9 (3^100 - 3)/2 + 6 = (9 *3^100 - 27 + 12)/2 = (9 *3^100 - 15)/2 = (3(3^101 - 5)/2. Logo, este número é divisível por 7. Pode ser cultura um tanto inútil, mas achei isso legal. Também achei legal. Apenas realmente não entendi como você enxergou sua afirmativa pensando na série de Taylor. Obrigado pelas dicas Abração, Nehab Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [ <mailto:[EMAIL PROTECTED]> mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 22:28 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade II Oi, Arthur, De fato 3^101 - 5 é divisível por 7 mas não consegui enxergar a relação deste fato com a dica que eu havia dado para o Francisco? Pode me explicar melhor ? Só consegui ver que 7 divide 3^101 - 5 usando aritmética modular. Acho que você sacou alguma coisa que eu não ví... Abração, Nehab PS: O que fiz: 3^6 = 729 = 1 (mod 7) ---> 3^96 = 1^16 = 1 (mod 7); mas 3^5 = 243 = 5 (mod 7); então 3^101 = 5 (mod 7). At 18:03 15/8/2007, you wrote: E como decorrencia disto, segue-se que (3 (3^101 - 5))/2 eh divisivel por 7. Certo? Artur -----Mensagem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [ mailto:[EMAIL PROTECTED] <mailto:[EMAIL PROTECTED]> Em <mailto:[EMAIL PROTECTED]> nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quarta-feira, 15 de agosto de 2007 17:14 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] divisibilidade Oi, Francisco, O correto é 10^100 - 4 e não 10^100 - 6. Tipicamente estes exercícios devem ser resolvidos usando "módulo". Mas este, em especial, dá pra fazer até diretamente... Solução 1) Note que o 10^100 - 4 é um monte de noves (ou seja, 99 noves) terminando com um 6, correto? Mas cada grupo de seis noves (999999) é divisível por 7 dando 142857. Após os 96 primeiros algarimos (do dividendo) você terá obtido no quociente 16 vezes a seqüência 142857 e sobrariam os algarismos 9996 para terminar a divisão. Mas 9996 é divisível por 7 dando 1428. Solução 2) Note a seguinte propriedade (pode prová-la: é um exercício simples e elegante): Seja N = (Mr), ou seja, os algarismos iniciais de N compõem o número M e seu último algarismo (de N) é r. Então N é divisívível por 7 sss M - 2r é divisível por 7. Usando esta propriedade também dá para resolver seu problema (tente). Abraços, Nehab PS: Deixo a solução por "módulo" para os demais colegas. Abraços, Nehab At 15:39 15/8/2007, you wrote: Como mostro que 7 | (10^100 - 6) ? Grato. _____ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Cadastre-se <http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br> já!
