Oi Paulo Parece que nossas mensagens foram praticamnente simultâneas. Vou ler a sua com atenção e logo que possa responderei. Sds
Fernando 2008/1/18, Paulo Santa Rita <[EMAIL PROTECTED]>: > > Ola Fernando, Sergio e demais > colegas desta lista ... OBM-L, > > O argumento do Fernando e interessante. Vejamos. Seja N a > cardinalidade dos numeros naturais e seja B um numero binario infinito > fixo, tomado como base do processo. Para cada digito de B lancamos > uma moeda honesta. Ha duas possibilidades : > > Ocorrendo "cara" mantemos o digito; ocorrendo "coroa", o invertemos > > Pelo principio multiplicativo o "total" de possiveis numeros binarios > infinitos gerados sera 2x2x2x...x2x2x..., onde neste produto ha tantos > fatores quando a quantidade de digitos do numero binario B. Como > claramente B tem "N" digitos segue que serao possiveis 2^N numeros > binarios. > > O que e o 2^N que descrevemos acima ? Uma notacao para um processo ... > > Seja A um conjunto com M elementos. Quantos subconjuntos A tem ? > Resposta : 2^M. E claramente 2^M > M para todo M natural. Esse fato > simples valido para "numeros finitos" tambem e valido para "numeros > transfinitos", ou seja, o Cantor mostrou que a cardinalidade do > conjunto de todos os subconjuntos de um conjunto infinito A tem uma > cardinalidade superior a cardinalidade de A. Se M e a cardinalidade do > conjunto infinito A entao REPRESENTAMOS a cardinalidade do conjunto > dos subconjunto de A com o simbolo 2^M. > > Assim, 2^M nao e a descricao de um processo mas tao somente uma > notacao. Se N e a cardinalidade dos numeros naturais, vale dizer, a > "quantidade" de elementos de qualquer conjunto enumeravel, > representamos por 2^N a cardinalidade do conjuntos de todos os > subconjuntos ( finitos e infinitos ) dos numeros naturais. > > Portanto, nao esta claro que o 2^N - representacao de um processo - > usado pelo Carissimo Fernando e a mesma coisa que o 2^N usado para > representar a cardinalidade do conjunto > de todos os subconjuntos dos numeros naturais. > > TEM MAIS > > Seja C a cardinalidade dos reais. Seja 2^N a cardinalidade do conjunto > de todos os subconjuntos dos numeros naturais. Quem disse que 2^N = C > ? Essa e a hipotese do continuo, vale dizer, nao existe um conjunto > com cardinalidade entre a dos naturais e a dos reais. Essa e uma > questao "em aberto". Mais que isso : e uma hipotese absolutamente > independente ... Se voce supor que 2^N = C nao ha problemas. Se voce > supor que 2^N # C tambem nao ha problemas, nao obstante cada uma > destas possibilidades conduzirem a uma Matematicas Diferentes. > > Este estado de coisas da hipotese do continuo e absolutamente > inaceitavel ... Trata-se do nosso principal problema de contagem e nao > sabemos fazer a pergunta certa de maneira a termos uma resposta > satisfatoria. E uma das maculas da Matematica, que mais dia menos dia > vai ter que receber uma feicao nova. > > Seja C a cardinalidade dos reais. Se voce supor a ordem natural para > os numeros transfinitos do Cantor e se perguntar : Quem e "C" ? O > segundo Alefe ? O terceiro Alete ? A resposta honesta e : nao sabemos > ! Por que ? Por causa da incerteza quanto a hipotese do continuo... Em > verdade, dizer que um conjunto nao e enumeravel e o mesmo que dizer > que nao conhecemos a sua cardinalidade, tendo por base a "sequencia" > de numero tranfinitos construida pelo Cantor. > > Assim, carissimo Fernando, mesmo que seja possivel demonstrar que a > quantidade de numeros ( cardinalidade ) binarios possiveis gerados > pelo processo da moeda que voce descreveu nao seja a cardinalidade dos > naturais, nao e absolutamente seguro dar o "salto quantico" e dizer > que ha tantos possiveis numeros binarios quanto a quantidade de > numeros reais. > > Note que estou usando uma linguagem simples, sem maiores preocupacoes > com rigor. Falando com precisao, nos ( Matematicos ) dizemos que a > cardinalidade de um conjunto A "e menor que" a cardinalidade de um > conjunto B se existe uma injecao f: A -> B mas nao existe uma bijecao > g: A-> B. > > TEM MAIS > > Seja D o conjunto de todos os numeros binarios potencialmente gerados > pelo processo descrito pelo Fernando. Suponhamos que se prove que > existe uma bijecao f : D -> R, onde R e o conjunto dos numeros reais, > ou seja, a cardinalidade de D e C ( C = cardinalidade do conjunto dos > numeros reais ). Seja E o conjunto de todos os programas efetivos numa > dada linguagem. Sabemos que E e enumeravel. Em E estaram as dscricoes > de todos os elementos de D que apresentam REGULARIDADE ESTATISTICA ? O > que, precisamente, REGULARIDADE ESTATISTICA ? IMAGINO que regularidade > estatistica e a capacidade de ser descrito por um procedimento > efetivo, vale dizer, um algoritmo. Neste caso, eu penso que voce > estaria apenas atribuindo um novo nome, ALEATORIO, aos numeros nao > computaveis, E NAO CARACTERIZANDO-OS DE FORMA DEFINITIVA : > > > > Acima eu tentei apresentar as minhas duvidas com o objetivo de , de > alguma forma, contribuir para o esclarecimento da questao. Deve-se > ressaltar, entretanto, que os Matematicos sao, em geral, bastante > parcimoniosos na introducao de novos conceitos, o que, parece-me, ser > o nucleo da questao aqui focalizada. > > So depois que uma nova visao, em geral com conceitos novos, mostra-se > capaz de resolver de forma satisfatoria problemas conhecidos, dificeis > ou impossiveis de serem tratados com o ferramental tradicional, e que > ela e lentamente aceita e adotada. E novos conceitos dificilmente se > apresentam de forma acabada ou completa. Mesmo a pessoa que os percebe > num primeiro momento tem apenas uma compreensao limitada deles : TODOS > os grandes saltos cientificos e, em particular, matematicos, foram > feitos assim. > > A independencia da Hipotese do Continuo e a demonstracao que mais > fortemente sugere que o nosso atual Universo Conceitual e insuficiente > para descrever as coisas, ou seja, que nao estamos sabendo fazer as > perguntas corretas. > > Um Abracao > Paulo Santa Rita > 6,0839,120108 > > > > > > > > > 2008/1/17, Sergio Lima Netto <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > > Na fisica existe uma relacao simples que liga estas coisas, isto e, o > > > produto da incertezas deve ser maior que um valor conhecido : haveria > > > uma relacao matematica analoga a incerteza fisica ? > > > > Caros, > > Talvez esteja forcando a barra, me parece que existe uma ponte > > entre os conceitos de aleatoriedade e complexidade de Kolmogorov > > (comprimento do menor programa que gera uma string (um numero)): > > A teoria da informacao de Shannon. Estamos falando de coisas abstratas > > e nada triviais; a ideia de fazer a ponte, entao, eh mais > > abstrata ainda (pelo maior grau de generalidade). Uma tentativa, > > bem feita nomeu entender, existe no livro de Teoria da Informacao > > de Cover e Thomas, pela prentice-hall se nao me engano. > > > > Em relacao a "relacao matematica analoga a incerteza fisica" eu imagino > > que a medida de entropia definida por Shannon (nao confundir com a > > entropia da termodinamica) eh uma medida do grau de incerteza > > de uma variavel aleatoria - eh tambem uma medida da aleatoriedade > > da variavel aleatoria e tambem o limite de compressao da mesma > > variavel aleatoria. Qualquer livro de teoria da informacao > > poderia ser usado aqui para desbravar este tema, sendo os principais: > > i- artigo original do Shannon publicado em 48 no Bell Syst Tech Jrnl > > ii- livro do Shannon com co-autor, com mesmo conteudo do artigo > > iii- livro do Gallager (este eh o mais classico em termos didaticos) > > iv- o supra-citado livro do Cover e Thomas (approach mais moderno). > > > > Abracos, > > sergio > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Fernando A Candeias
