2008/1/16 Fernando A Candeias <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > Caros colegas de lista. > > > > "Seriam os números aleatórios os principais responsáveis pela não > enumerabilidade do conjunto dos números reais?" > > > > Em agosto do ano passado coloquei essa pergunta na lista, formulada de modo > um pouco diferente, mas em essência, a mesma. O assunto despertou a atenção > de alguns colegas, e as sugestões de leitura que recebi do Santa Rita e do > Nicolau, quanto aos números não computáveis, números de Cantor, normais e > outros temas se revelaram de grande utilidade. > > Quando formulei a questão tinha a impressão de que a resposta seria > positiva, mas no decorrer da troca de mensagens mudei de opinião. > > Entretanto outros argumentos a que tive acesso no decorrer de minha busca > parecem indicar que as seqüências aleatórias infinitas são, não só os > principais atores, mas na verdade os únicos responsáveis pela cardinalidade > do conjunto dos reais. > > Submeto ao crivo dos colegas um estudo denominado "Teorias da Aleatoriedade" > de Carlos A.P. Campani e Paulo Baluth Menezes, da UFRGS que pode ser > localizado na rede em: > > http://www.inf.ufrgs.br/~revista/docs/rita11/rita_v11_n2_p75a98.pdf.
Oi Fernando, quando você mandou esta pergunta da outra vez eu respondi que NÃO, que existe um conjunto com a cardinalidade de R de números não aleatórios. Na ocasião você não propos, se eu bem me lembro, uma definição do que seria um número aleatório então o meu argumento talvez tenha ficado vago. Mas agora que você deu esta referência vou enunciar um exemplo rigoroso. Seja t: N -> N (a função torre binária) definida recursivamente por t(0) = 0, t(n+1) = 2^t(n) de tal forma que t(1) = 1, t(2) = 2, t(3) = 4, t(4) = 16, t(5) = 65536, t(6) = 2^65536, ... Para cada seqüência s: N -> {0,1} defina x_s = SOMA_{k >= 0} s(k) 2^(-1-t(k)). Analogamente, para cada s consideramos a seqüência ss onde ss(t(k)) = s(k) e ss(k) = 0 se não existir j com t(j) = k. Exemplo: seja s = 011001001... Temos x_s = 2^(-2) + 2^(-3) + 2^(-65537) + 2^(-1-t(8)) + ... e ss = 011000000.....0000010000....00000100000.... onde o terceiro 1 aparece na posição 65536 e o quarto na posição t(8). Sejam Kx e Ks os conjuntos de todos os x_s e ss conforme definidos acima, respectivamente. Afirmamos que o conjunto Kx é um conjunto de Cantor (i.e., é homeomorfo ao conjunto de Cantor usual) e tem portanto a cardinalidade de R; claramente Ks tem a mesma cardinalidade de Kx. Afirmamos ainda que nenhuma seq binária ss em Ks é aleatória no sentido da Def 2, pg 79 (Kollektiv). Afirmamos ainda que Ks é um conjunto efetivo nulo (no sentida da Def 4, pg 83) donde nenhuma seq ss em Ks é aleatória no sentido da Def 5, pg 84. A afirmação sobre Kx ser um conjunto de Cantor é fácil: basta compor a correspondência s -> x_s com a inversa da correspondência clássica s -> (2/3) * SOMA_{k >= 0} s(k) 3^(-k). A afirmação sobre cardinalidade segue daí pois é um fato bem sabido que a cardinalidade de conjunto de Cantor usual é igual à de R. Quanto à Def 2, é bem fácil ver que ss viola o item 1 pois lim (SOMA_{0 <= i <= n-1} ss(i))/n = 0. Quanto à Def 4, o algoritmo é o seguinte. Dado epsilon > 0, tome n tal que 2^(n-t(n)) < epsilon (é bem fácil ver que existe tal n e até obter algum tipo de fórmula para n em termos de epsilon). As strings binárias serão em número 2^n e terão comprimento t(n). As posições t(0), t(1), t(2)., ..., t(n-1) assumem todos os valores possíveis; as demais posições são sempre iguais a 0. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================