A idéia é exatamente esso, mas tem um detalhe sórdido : como você mesmo mostrou, o mdc tem que dividir 3ab e (a+b) ao mesmo tempo (já que se ele divide a+b ele vai dividir também o resto, que é (a+b)^2). Se a+b for múltiplo de 3, então o mdc é *no mínimo* 3. O que faltou foi ver que não pode ser maior do que isso, e é aí que entra a parte de "a e b são primos entre si". Vejamos : se o mdc tiver algum outro fator, m por exemplo, como ele divide 3ab (é ótimo ter uma parcela fatorada pra calcular mdcs!) ele divide 3, a, ou b (não necessariamente exclusivo). Bom, como o "3" já foi contado, ele divide a ou b. Podemos supor que divide a (o outro caso é simétrico!). Como é mdc, ele divide também, a+b. Como m divide a e m divide a+b, m divide (a+b) - a = b (esse truque é ótimo, e ajuda a simplificar as contas, e foi bem o que o Saulo fez). Mas daí m divide a e b, e como eles são primos entre si, m = 1. A gente provou então que se tem um fator que divide 3ab e a+b ao mesmo tempo, ele não divide nem a nem b. Então, ele divide 3, e é 1 ou 3. Daí, a gente prova uma coisa um tiquinho mais forte : o mdc é 3 se e somente se a+b é múltiplo de 3 !
Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2008/3/27 saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]>: > (a^2+b^2-ab)/(a+b)=((a+b)^2-3ab)/(a+b) > o maximo divisor comum e o maior numero que nos podemos por em evidencia no > numerador e no denominador da divisao acima. > a+b=pode ser multiplo 3 > entao mdc(a+b,a²-ab+b²) =1 ou 3 > > 2008/3/27 Eder Albuquerque <[EMAIL PROTECTED]>: > > > > > > > Pessoal, o problema a seguir caiu numa prova de teoria dos números que > fiz ontem e foi a única dúvida... > > > > Provar: > > > > mdc(a,b)= 1 => mdc(a+b,a²-ab+b²) =1 ou 3 > > > > Agradeço se alguém mostrar como se prova. > > > > Eder > > > > ________________________________ > > > Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para > armazenamento! ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================