(a). f[ f^-1(B) ] está contido em B
Dem.: Seja y em f[ f^-1(B) ]. Então existe x em f^-1(B) tal que f(x)=y.
Por outro lado, se x está em f^-1(B), deve existir y* em
B tal que
f(x)=y*. Como f é função temos que y=y*, e portanto y
pertence a B.
E está demonstrado.
(b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=e^x => f injetora
Seja B=[-1,0]U{1} subconjunto não vazio de R. Temos que
f^-1[B]={0}, isto é, existe somente x=0 em R
tal que f(x)
está em B. E mais, f[f^-1[B]]={1} que é diferente de B.
ok!
(c) f[ f^-1(B) ] = B
O contraexemplo acima também serve!
(d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora
Contraexemplo.: f:R-->R, f(x)=tang(x) => f sobrejetora
Seja B={0} subconjunto não vazio de R. Então temos f[B]={0} e
f^-1[ f[B] ]={k.pi | k é inteiro} que é diferente de {0}.
ok!
Acho que é isso.
Inté,
Citando Igor Battazza <[EMAIL PROTECTED]>:
Olá, alguem poderia me dar uma ajuda na explicação dessa questão, pois
eu cheguei em um resultado proximo, mas de uma maneira meio mistica,
chutando (ou seja, de uma forma incorreta). Lá vai:
Sejam R o conjunto dos números reais e f uma função de R em R. Se B
está contido em R e o conjunto f^-1(B) = { x pertence a R ; f(x)
pertence a B }, então:
a) f[ f^-1(B) ] está contido em B; (Alternativa correta, mas pouco me
importa :P )
b) f[ f^-1(B) ] = B se f é injetora;
c) f[ f^-1(B) ] = B
d) f^-1[ f(B) ] = B se f é sobrejetora;
e) n.d.a.
OBS: f^-1 é a inversa de f.
Obrigado desde já!
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Arlane Manoel S Silva
Departamento de Matemática
Instituto de Matemática e EstatÃstica-USP
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