Olá,
estou tentando a seguinte abordagem:
Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
estiver fora do quadrado).
Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
A probabilidade desejada é:
[ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
naturalmente, temos que se x > 1 ou x < 0 ou y > 1 ou y < 0, a agulha estará
fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1... mais
que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue todos os
pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro desta
região.
As simplificações iniciais são:
[ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
/ [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy dx
]
seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
i) x < y e x+cos(theta) > y+sen(theta)
ii) x > y e x+cos(theta) < y+sen(theta)
Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
Re(p+z) <= 1 e Im(p+z) <= 1
isto é:
x + cos(r) <= 1 e y + sen(r) <= 1
ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
tocar ou nao a diagonal).
abraços,
Salhab
2008/6/28 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>:
> 1º Problema - este é MUITO difícil!
>
>
>
> Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são unitários.
> Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
>
> 1) A própria diagonal da base; e
>
> 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
>
>
>
> Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
> aleatoriamente, dentro da caixa.
>
>
>
> Pergunta-se:
>
>
>
> Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base da
> caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de reta
> de número "1", descrito acima? E o de número "2"?
>
>
>
> Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
> http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
>
>
> 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
>
>
> Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento
> de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e
> por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior
> do que a altura do triângulo.
>
>
>
> Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): "Given a circle. Find the
> probability that a chord chosen at random be longer than the side of an
> inscribed equilateral triangle".
>
> Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
>
