Salhab, saudações!
1º - Enviei-lhe uma mensagem, apontando que, em relação ao problema
concernente à eq. x^2 - xy + y^2 = Cte , é necessário fazer alguns ajustes
na sua solução qdo. uma das raízes é igual a "0":
P.ex., se a=0 , então o par (-a, -b) é igual ao par (a, a-b) .
2º - Quanto a este problema de Probabilidades Geométricas, acredito que vc.
esteja indo por um caminho correto, mas tortuoso! É mais simples criar
faixas infinitesimais, paralelas a um dos lados da base e à linha que divide
a base em 2 áreas iguais; fazer com que uma das extremidades da agulha caia
nestas faixas infinitesimais; verificar qual é a condição de contorno em que
a agulha não intercepta a linha supracitada; dividir o "range" desta
condição de contorno pela condição de contorno "possível" (a agulha está
pousada horizontalmente sobre a base); integrar e...
Sds.,
AB!
2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>:
> Opa,
> acho que consegui determinar a região... vamos lá:
> 0 <= x <= 1
> 0 <= y <= 1
> 0 <= x + cos(theta) <= 1
> 0 <= y + sen(theta) <= 1
>
> logo:
> 0 <= x <= 1
> 0 <= y <= 1
> -cos(theta) <= x <= 1 - cos(theta)
> -sen(theta) <= y <= 1 - sen(theta)
>
> portanto, podemos escrever nossas integrais do seguinte modo:
> int {0 ... 2pi} int { 1-cos(theta) ... max(-cos(theta), 0) } int { 1 -
> sen(theta) ... max( -sen(theta), 0) } dy dx dtheta
> veja que nesta região, g(x, y, theta) = 1... portanto, basta integrarmos
> mesmo!
> Falta apenas determinarmos f(x, y, theta).. o que não está parecendo muito
> difícil.
>
> Antes, vamos apenas dividir esta integral em 4, para retirarmos os "max"...
>
> int {0 ... pi/2} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ... 0} dy dx
> d(theta) +
> int {pi/2 ... pi} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
> 0} dy dx d(theta) +
> int {pi ... 3pi/2} int {1-cos(theta) ... -cos(theta)} int {1-sen(theta) ...
> -sen(theta)} dy dx d(theta) +
> int {3pi/2 ... 2pi} int {1-cos(theta) ... 0} int {1-sen(theta) ...
> -sen(theta)} dy dx d(theta)
>
> resolvendo, temos:
> (pi/2 - 3/2) + (pi/2 - 1) + (pi/2) + (1 + pi/2) = 2pi - 3/2
> [posso ter errado conta..]
>
> vou pensar no f agora.. acredito que seja apenas dividir mais ainda nossas
> integrais...
> assim que concluir algo mando outra mensagem..
>
> abraços,
> Salhab
>
>
>
> 2008/6/30 Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]>:
>
>> Olá,
>> estou tentando a seguinte abordagem:
>> Seja f(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha com extremo no
>> ponto (x,y) e ângulo theta em relação ao eixo das abscissas tocar na
>> diagonal. E é 0 nos outros casos (quando não toca, ou quando a agulha
>> estiver fora do quadrado).
>> Seja g(x, y, theta) uma função que é igual a 1 se a agulha está dentro do
>> quadrado, e 0 se ela estiver fora do quadrado.
>> A probabilidade desejada é:
>> [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta)
>> d(theta) dy dx ] / [ int{-inf ... +inf} int{-inf ... +inf} int {0 ... 2pi}
>> g(x, y, theta) d(theta) dy dx ]
>>
>> naturalmente, temos que se x > 1 ou x < 0 ou y > 1 ou y < 0, a agulha
>> estará fora do quadrado. Portanto, podemos reduzir os intervalos de 0 a 1...
>> mais que isso, se conseguirmos relacionar x, y e theta de modo que pegue
>> todos os pontos em que a agulha está no quadrado, basta integrarmos dentro
>> desta região.
>> As simplificações iniciais são:
>> [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} f(x, y, theta) d(theta) dy dx
>> ] / [ int{0 ... 1} int{0 ... 1} int {0 ... 2pi} g(x, y, theta) d(theta) dy
>> dx ]
>>
>> seja z = cis(theta) a nossa agulha na origem.
>> e seja p = x + yi o ponto do extrema de nossa agulha.
>> p+z = (x+cos(theta)) + (y+sen(theta))i é o outro extremo da nossa agulha.
>> Para determinarmos se a agulha toca ou não na diagonal, temos 2 casos:
>> i) x < y e x+cos(theta) > y+sen(theta)
>> ii) x > y e x+cos(theta) < y+sen(theta)
>>
>> Para determinar a região em que a agulha está dentro do quadrado, temos:
>> Re(p+z) <= 1 e Im(p+z) <= 1
>> isto é:
>> x + cos(r) <= 1 e y + sen(r) <= 1
>>
>> ainda não cheguei a nenhuma conclusão... analisei a região em um programa
>> gráfico e estou tentando encontrar uma equação fechada para ela (para
>> integrarmos nessa região... e passarmos a nos preocupar somente com a agulha
>> tocar ou nao a diagonal).
>>
>> abraços,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>> 2008/6/28 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>:
>>
>> 1º Problema - este é MUITO difícil!
>>>
>>>
>>>
>>> Considere uma caixa de base quadrada, cujos lados (da base) são
>>> unitários. Na base desta caixa, são traçados dois segmentos de reta:
>>>
>>> 1) A própria diagonal da base; e
>>>
>>> 2) O segmento de reta entre os pontos médios de dois lados opostos.
>>>
>>>
>>>
>>> Toma-se uma agulha de comprimento também unitário e joga-se,
>>> aleatoriamente, dentro da caixa.
>>>
>>>
>>>
>>> Pergunta-se:
>>>
>>>
>>>
>>> Qual é a probabilidade da agulha, então pousada horizontalmente na base
>>> da caixa (por hipótese!), interceptar (em um ponto qualquer) o segmento de
>>> reta de número "1", descrito acima? E o de número "2"?
>>>
>>>
>>>
>>> Veja um problema análogo (mas, mais fácil!) em:
>>> http://www.cut-the-knot.com/fta/Buffon/buffon9.html
>>>
>>>
>>> 2º Problema - este também é difícil, mas não tanto quanto o primeiro.
>>>
>>>
>>> Considere um triângulo eqüilátero. Calcule a probabilidade de um segmento
>>> de reta, determinado por um ponto qualquer de um dos lados desse triângulo e
>>> por outro ponto qualquer de um dos outros dois lados adjacentes, ser maior
>>> do que a altura do triângulo.
>>>
>>>
>>>
>>> Paradoxo de Bertrand (Bertrand's Paradox): "Given a circle. Find the
>>> probability that a chord chosen at random be longer than the side of an
>>> inscribed equilateral triangle".
>>>
>>> Referência na Internet: http://www.cut-the-knot.com/bertrand.html
>>>
>>
>>
>
