Suponha-se que, em relação a uma quantidade dada de elementos: a1 (%) pertençam ao conjunto A1; a2 (%) pertençam ao conjunto A2; ... an (%) pertençam ao conjunto An; Logo, trabalhando com os complementares dos conjuntos acima (~X é o complementar de X): (100 - a1)% não pertencem ao conjunto A1 (ou seja, pertencem a ~A1); (100 - a2)% não pertencem ao conjunto A2 (pertencem a ~A2); ... (100 - a2)% não pertencem ao conjunto An (pertencem a ~An); Os elementos que pertencem aos conjuntos Ai, i = 1, 2, ..., n, simultaneamente, não pertencem a (~A1 U ~A2 U ... U ~An) = M, estando, assim, em ~M. Mas o conjunto M U ~M é fixado (o universo em questão). Como são disjuntos, nota-se percentualmente que: n (M) + n(~M) = 100% (*), sendo n (X) é o percentual de elementos que pertencem a X. Logo, conclui-se que n (~M) é mínimo quando n (M) é máximo. Ora, n (M) = n (~A1 U ~A2 U ... U ~An) é máximo quando os conjuntos são disjuntos dois a dois, como se conclui do princípio da inclusão-exclusão. Portanto, n (M) máximo vale: n (~A1) + n (~A2) + ... + n (~An) = n*100% - (a1 + a2 + ... + an). Enfim, substituindo este resultado em (*), obtém-se que o valor mínimo de n (~M) (e, conseqüentemente, a tese do resultado geral) é tal que: n*100% - (a1 + a2 + ... + an) + n (~M) = 100%, ou seja: n (~M) = a1 + a2 + ... + an - (n - 1)*100% (c.q.d.). No caso particular em que a1 = 70%, a2 = 75%, a3 = 80%, a4 = 85% e n = 4, tem-se que: n (~M) = 70% + 75% + 80% + 85% - (4 - 1)*100% = 10%. Espero ter ajudado. --- Em qua, 27/8/08, arkon <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: arkon <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] probleminha da en Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quarta-feira, 27 de Agosto de 2008, 21:32 Alguém poderia demonstrar (provar), por favor, esse "truque". Em 11/12/2006 20:21, Carlos Victor escreveu: Olá Arkon, Como dizia o nosso mestre MORGADO , um " truque" para este tipo de problema é : Como são quatro conjuntos , o que ultrapassar a 300% será a quantidade da interseção dos conjuntos . Se tivermos n conjuntos , o que ultrapasar a (n-1)x100% será o mínimo da interseção , ( tente provar) ,ok ? []´s Carlos Victor At 16:58 11/12/2006, arkon wrote: >Gostaria que alguém da lista me enviasse a resolução de mais uma questão >da en, por favor: > >grato. > >Se 70% da população gostam de samba, 75% de choro, 80% de bolero e 85% de >rock, quantos por cento da população, no mínimo, gostam de samba, choro, >bolero e rock? > >a) 5%. >b) 10%. >c) 20%. >d) 45%. >e) 70%. > >Obs.: A alternativa correta é a letra b. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
