Cara, eu acho que a solução está certa, mas falta um detalhe... e pouco trivial na minha opinião :
2008/9/16 Bouskela <[EMAIL PROTECTED]>: > Se "alfa" é raiz de "p(x)" , então "p(x)" é divisível por "(x – alfa)" . Certo, mas em que sentido de divisível ? O que a gente pode dizer é que o polinômio tem raízes complexas, e portanto esta tal divisibilidade se dá em C[X]. Bom, como alpha é inteiro (e logo real), a gente pode fazer um pouco melhor (porque as raízes complexas vindo aos pares, o que sobra é sempre um polinômio com coeficientes reais), e conseguir R[X]. Daí, é um pulinho pra Q[X], porque é só "fazer as contas" e ver que o polinômio tem que ter coeficientes racionais (mas nada sabemos, ainda, sobre o denominador) > Logo, existe um polinômio "q(x)" , tal que "(x – alfa).q(x) = p(x)" . Exatamente, mas qual é a cara deste polinômio que é a questão : a discussão acima mostra que os coeficientes de q(x) são racionais. > Obviamente, o grau de "q(x)" é igual a "n–1" . Claro ! > Seguindo sua notação: seja q(x) = b0.x^(n–1) + b1.x^(n–2) + ... + bn–1 > O termo independente de "(x – alfa).q(x)" é "–(bn–1).alfa" . > Como "(x – alfa).q(x) = p(x)" , este termo independente é igual ao termo > independente de "p(x)", i.e., "an" . > Logo: an = –(bn–1).alfa ; logo: an/alfa = –bn–1 . > Como "bn–1" é inteiro, "alfa" é divisor de "an" . Esta é a parte difícil (ao meu ver) do problema... Provar que se um polinômio a coeficientes inteiros divide outro, também a coeficientes inteiros, dando um quociente racional e resto zero, ENTÃO o quociente tem coeficientes inteiros também. Repare que este resultado, mesmo que pareça "óbvio", não é tão fácil assim de demonstrar : os coeficientes dos dois polinômios poderiam "conspirar" para dar um produto com coeficientes inteiros, mas algum de origem ter uma fração. Esse resultado é tão importante, que tem até nome ! > 2008/9/16 Robÿffffe9rio Alves <[EMAIL PROTECTED]> >> >> Suponha que p(x) = a0.x^n + a1.x^n-1 ? ... + an-1.x + an seja um polinomio >> de grau n, com coeficientes inteiros, isto é, a0 diferente de 0, a1, a2, >> ..., an são números inteiros. Seja ( alfa ) um número inteiro. Prove que se >> ( alfa ) for raiz de P(x), en~~ao (alfa ) será um divisor do termo >> independente an. >> >> Como faz ??? > > -- > Saudações, > AB > [EMAIL PROTECTED] > [EMAIL PROTECTED] > Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
