Além de perfeita, muito didática a sua explicação!!
Muito obrigada
--- Em qui, 16/10/08, Pedro Cardoso <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
De: Pedro Cardoso <[EMAIL PROTECTED]>
Assunto: RE: [obm-l] Combinatoria e Prob
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 16 de Outubro de 2008, 19:24
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Olá,
Thaís, Lucas e amigos da lista.
Eu resolvi assim:
"1) (FUVEST-1997) Os trabalhos da diretoria de um clube são realizados por
seis comissões. Cada diretor participa exatamente de duas comissões e cada duas
comissões têm exatamente um diretor comum.
a) Quantos diretores tem o clube?"
Seja n o número de participantes de uma comissão.
[1] Cada diretor participa exatamente de duas comissões.
[2] Cada duas comissões têm exatamente um diretor comum.
A priori, são 6*n diretores. Mas, por [1], contamos duas vezes cada um.
Logo, são 6*n/2 = 3*n diretores.
A priori, são 6*n diretores. Mas, por [2], para cada par de comissão, contamos
duas vezes um mesmo diretor.
Logo, são 6*n - C(6,2) = 6n - 15 diretores.
Daí, 3*n = 6n - 15, donde n = 5 e são 15 os diretores.
"b) Escolhendo-se, ao acaso, dois diretores, qual é a probabilidade de que eles
sejam de uma mesma comissão?"
"> suponha que tenhamos um diretor já definido, então 2 comissões estão
> "selecionadas".
> Agora vamos "pegar" as comissões do segundo diretor.
> As chances de pegarmos de primeira uma comissão selecionada é de 2/6
> se pegarmos uma não selecionada de primeira (chances de 4/6), as
> chances de pegarmos uma selecionada é de 2/5: assim temos que as
> chances desse segundo caso acontecer são de 4*2/(5*6) = 4/15
> Somando tudo: 2/6 + 4/15 = (10+8)/30=18/30=9/15=3/5"
Hum... Lucas, eu penso que, como estamos sorteando diretores em vez
de comissões, talvez sua resposta não esteja correta. Acho que você deveria
considerar que um mesmo diretor não pode ser sorteado duas vezes. Além disso,
você fez três sorteios, não?
Pela letra a), cada comissão tem 5 diretores e pelo enunciado [2] cada par de
comissão tem apenas um único diretor em comum. Então, como o Lucas fez, vamos
supor que o primeiro diretor, o José, foi sorteado. José participa de duas
comissões e é o único diretor que trabalha nas duas ao mesmo tempo. Logo,
existem 4 diretores em cada uma das duas comissões em que José está, todos eles
distintos.
Daí, são 8 diretores trabalhando com José e 6 não trabalhando com ele. Logo, a
chance de pegarmos um diretor que não trabalha com José é 8/(6+8) = 4/7.
Eu supus que no sorteio o próprio José não pode ser sorteado.
Abraços,
Pedro.
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