Olá pessoal isso que o Rogério fez foi demonstrar a fórmula de permutação caótica que se encontra no livro de Probabilidades do saudoso Morgado. Só que o Rogério resolveu por meio de equações diferenciais. Deêm uma olhada no livro. Achei interessante nunca imaginei que se resolveria por equações diferenciais. []s Raphael
--- Em seg, 24/11/08, Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: De: Rogerio Ponce <[EMAIL PROTECTED]> Assunto: Re: [obm-l] Combinatoria e Prob Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Segunda-feira, 24 de Novembro de 2008, 6:51 Ola' Fabricio e colegas da lista, segue um repeteco desse problema, com outra roupagem, e sua solucao: ------------- Problema: Qual a probabilidade P(N) de ocorrer um sorteio valido numa reuniao de N "amigos ocultos" ? (sorteio valido e' aquele em que ninguem sorteia a si mesmo). ------------- Solucao: Primeiramente, em um sorteio qualquer, existem sub-grupos do tipo "A sorteia B, que sorteia C, que sorteia...que sorteia A", formando um "loop". Chamemos de "cadeia" essa sequencia de pessoas. Entao, seja V(n) o numero de sorteios validos com "n" pessoas. Quando acrescentamos a enesima-primeira pessoa a um grupo com "n" pessoas, um sorteio valido qualquer correspondera' as seguintes situacoes: a) essa pessoa forma uma cadeia com mais de 2 elementos. b) essa pessoa forma uma cadeia com apenas 2 elementos (ela e uma 2a. pessoa fazem uma troca mutua de presentes). No caso "a", podemos considerar que essa pessoa e' inserida em alguma das cadeias que haveria num sorteio valido com apenas "n" pessoas. No caso "b" , cada sorteio pode ser obtido a partir da escolha do 2o. elemento, e entao formando-se todos os sorteios validos possíveis com (n-1) elementos. Dessa forma, o numero de sorteios validos do tipo "a" vale "n*V(n)" . Repare que essa nova pessoa pode ser inserida logo apos uma pessoa qualquer dentre as "n" existentes. E o numero de sorteios validos do tipo"b" vale "n*V(n-1)" . Repare que essa nova pessoa pode fazer par com qualquer uma dentre as "n" existentes, enquanto as outras (n-1) se organizam como um sorteio valido de (n-1) elementos. Assim, V(n+1) = n*V(n) + n*V(n-1) Fazendo V(n) = n! * W(n) , obtemos a equacao de diferencas, linear e homogena, do 1o grau: [W(n+1) - W(n)] + 1/(n+1) * [W(n) - W(n-1)] = 0 Portanto, a solucao geral e' W(n+1) - W(n) = C * (-1)^(n+1)/(n+1)! Como V(1)=0 e V(2)=1 , entao C=1 , pois W(1)=0 e W(2)=1/2 , que nos leva a W(n+1) = W(n) + (-1)^(n+1)/(n+1)! Como o numero de sorteios possíveis e' n! , a probabilidade de sorteios validos com "n" pessoas e' P(n)= V(n)/n! . Logo, P(n) = W(n) , ou seja, P(n) = P(n-1) + (-1)^n/n! , onde P(1)=0 ou seja, P(n) = 0 + 1/2! -1/3! +...+ (-1)^n/n! Alem disso, e' facil verificar que quando "n" cresce, P(n) converge para P = 0 +1/2! - 1/3! + 1/4! ... = 1/e []'s, Rogerio Ponce ---------------------------------------- 2008/11/23 [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>: > Mexendo nos emails antigos, vi vários comentários sobre o problema 1, mas > não sobre o problema 2. > > "2) Uma recepcionista recebeu n chapéus, mas estes ficaram totalmente > misturados. Decidiu, então, devolvê-los a esmo. Calcular a probabilidade de > que nenhum homem receba seu chapéu." > > É fácil notar que a probabilidade do primeiro homem não receber seu chapéu é > dada por (n-1)/n. > O mesmo raciocínio não vale para o segundo homem, pois se o chapéu dele já > foi retirado, ele tem chance de 1/1 de retirar o chapéu errado. > > Dessa forma, é mais fácil resolver o problema de forma complementar, isto é, > calcular qual a probabilidade de que tdos eles retirem o próprio chapéu. > > Aí teremos que P(chapeu_certo) = (1/n).(1/n-1).(1/n-2)...(1/2).(1/1) > P = 1/n! > > Portanto, a probabilidade de nenhum homem retire seu chapéu é 1 - 1/n! > > Será que é isso? > > > Fabrício. > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
