Só pra dizer mais umas coisas legais : O Elon tem no livro dele (não sei mais se é o Análise Real ou o Curso de Análise, volume 1, claro) a mesma idéia pra definir senos e cossenos. Pra quem gosta de cálculo diferencial, esse é um prato cheio pra lembrar como fazer algumas contas, e, melhor ainda, ver que realmente seno e cosseno estão bem-definidas e tal:
1) seja f'' + f = 0 uma função tal que f(0) = 0, f'(0) = 1 (qualquer semelhança com o seno é pura coincidência) 2) Chame (sei lá por quê...) g = f', e note que g'' = f''' = (-f)' = -f' = -g, logo g'' + g = 0 também, que legal, e g' = f'' = -f 3) Note que g^2 + f^2 = 1 : derivando, dá 2gg' + 2ff' = -2gf + 2fg = 0, logo é constante, logo g^2 + f^2 = g(0)^2 + f(0)^2 = 1 + 0 = 1 4) Como g(0) = 1 > 1/2, e f' = g, temos que f é monótona crescente num intervalo em torno de zero. Como g^2 = 1 - f^2, g é monótona decrescente. 5) Existe um ponto x > 0 em que g(x) = 0 : senão, g seria sempre maior do que zero (pois g(0) = 1 > 0, teorema do valor intermediário), logo f seria sempre crescente. Olhando de novo para f' = g, temos que num intervalinho em torno do zero, f' > 1/2, logo f > 1/2 * comprimento do intervalinho. Como g' = -f, além desse intervalinho (digamos [0,a], g está ABAIXO de uma reta de inclinação -f(a) < -a/2. Logo g *tem que* cruzar zero. 6) Chame esse ponto mágico de primeira anulação de g de A (como anulação !) Note que g'(A) = 1 ou -1 (porque g' = -f, f(A)^2 = 1 - g(A)^2 !) e como g é positiva entre 0 e A, temos f crescente, logo f positiva, logo f(A) = 1, logo g'(A) = -1 7) Use isso para ver que -g'(x+A) é uma solução também da equação, com mesmas condições e o mais. Repetindo duas vezes, você descobrirá que f(x+4A) = f(x) (atenção pros sinais) 8) Prove agora as fórmulas mágicas de soma e subtração de senos e cossenos que você conhece usando derivada, por exemplo : f''(a+x) = -f(a+x) é solução da equação diferencial, e (f(a)g(x) + f(x)g(a))'' = f(a)g''(x) + f''(x)g(a) = f(a)(-g(x)) + (-f(x))g(a) = -(f(a)g(x) + f(x)g(a)) também é solução, e note que f(a+0) = f(a) e f(a)g(0) + f(0)g(a) = f(a)*1 +0*g(a) = f(a) e a primeira derivada também coincide, logo as funções são iguais. 9) Essas funções estão definidas em toda a reta real, f(-x) = -f(x), e se a gente chamar A = pi/2, temos uma nova definição de pi. Uma idéia ainda mais ousada é definir seno e cosseno pela série deles seno(x) = soma (-1)^n x^(2n+1) / (2n +1)!, convergente em toda a reta (e normalmente em cada intervalo finito) pelo critério de d'Alembert. Isso dá imediatamente a equação diferencial (pra provar que ela se anula e o resto) e a série de Taylor, as derivadas, os limites sin(x)/x pra x->0 etc. Outra coisa : o Liouville provou um teorema descrevendo um algoritmo de integração que decide se uma função é integrável ou não em "termos simples" (com uma definição do que sejam "termos simples", claro). Ela usa uns conceitos de Álgebra pra funcionar, e é bem interessante do ponto de vista moderno : considerar todas as funções de uma vez só é permite provar o teorema, enquanto uma análise caso a caso não. Um link (não achei um pdf com a demo, mas deve dar pra encontrar) : http://www.sosmath.com/calculus/integration/fant/fant.html 2009/3/24 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>: > Oi, Bouskela. Você tem uma certa razão... Mas, sinceramente, o que > diabos é e^x? Mais espcificamente, o que é e^pi, por exemplo? Dá para > definir por limites usando números racionais, mas dá um certo > trabalhinho... > > Então tem um pessoal que prefere DEFINIR o logaritmo pela integral, e > DEFINIR a função e^x como sendo a inversa do ln (assim, este tal de > "e" por definição seria o número cujo ln é 1!). Neste novo "universo", > as coisas se encaixam elegantemente (e, de bônus, responde-se a > pergunta do meu parágrafo anterior). Mais detalhadamente, a ordem > lógica desse pessoal é: > > *Alerta! Texto DENSO a seguir! Nada difícil, mas está denso!* > > 0. Não sabemos o que é ln, nunca ouvimos falar de "e", não temos a > mínima idéia do que seja a^x quando x não é racional. > 1. Para x em (0,+Inf), definimos ln(x)=Int(1 a x) 1/t dt. Assim, > d(lnx)/dx=1/x e ln1=0. > 2. Conclua que ln(x) é crescente (pois a derivada é +). > (2a. Em particular, note que ln2>ln1=0.) > 3. Mostre que ln(x^r)=r.ln(x) (pelo menos para r racional) > -- Um jeito é: tome h(x)=ln(x^r)-rln(x); derivando, usando a Regra da > Cadeia e (1), vem h'(x)=0. Então h(x)=h(1)=0. > 4. Usando 2a e 3, temos que ln(2^r)=r.ln2 pode ser tão grande quanto > quisermos se r for grande, e tão negativo quanto quisermos se r for > bem negativo. Assim, a imagem desta misteriosa ln(x) é o intervalo > (-Inf, +Inf). > 5. Por (2), lnx é monótona, então invertível; vamos chamar sua inversa > de exp(x):(-Inf, +Inf) -> (0,+Inf) (estes intervalos vêm de (4) e > (1)). > 6. Mostre que exp(rx)=exp(x)^r (pelo menos para r racional) > -- Um jeito: use que exp(rx)=exp(rln(exp(x)))=exp(ln(exp(x)^r))=exp(x)^r. > 7. DEFINIÇÃO: e=exp(1). Assim, exp(x)=exp(x.1)=exp(1)^x=e^x (pelo > menos para x racional) > 8. Agora é o contrário: a gente vai MOSTRAR que e=lim ln(1+1/x)^x > quando x vai para Inf. Como? Use L´Hôpital nesta indeterminação do > tipo "1^(+Inf)". > 9. DEFINIÇÃO: x^y=exp(y.lnx) sempre que x>0, para qualquer y, > inclusive y irracional. > > Parece que dá MUITO mais trabalho (poxa, são uns 10 teoreminhas > encadeados)... Mas, no processo, a gente prova elegantemente todas as > propriedades dos logaritmos e das exponenciais (bom, tem algumas que > eu não pus aqui, mas que saem de maneira similar). > > Quando a gente dá Cálculo 1 *para a matemática* aqui na UFF, a gente > reserva uma aula de 2 horas para falar disso. Eu começo a aula fazendo > o passo 0. Aí eu pergunto: quanto é ln(a.b)? Quanto é ln(10^6)? Quanto > vale e? Respostas corretas (antes do passo 1): não tenho ideia, nunca > vi mais gordoooooo, "é", que "é"? :) :) :) > > Abraço a todos, > Ralph > -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
