Bom, então vamos lá: Fazendo o desenho e construindo o triangulo equilátero auxiliar que te falei vamos precisar provar que AD=BE. Mas ai é simples pois sendo P a instersecção da circunferência circunscrita aos triangulos BCD e ACE, então D^MC=60º, A^PC=120º, vemos que P está em BE e de também em AD. Agora aplica-se ptlomeu nos respectivos quadriláteros APCE, BPCD temos as seguintes relações:PE=AP+CP, PD= PB+PC, temos que: AD=AP+CP+PB=AE. Agora apliquemos o lei dos cossenos no triangulo ABE, BE^2=AB^2+AE^2+AB*AE*3^1/2, como AD=AE, de forma análoga AE=AC. Temos: AD^2=AB^2+AC^2+AB*AC*3^1/2
________________________________ De: luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> Para: Matematica Lista <obm-l@mat.puc-rio.br> Enviadas: Sábado, 2 de Maio de 2009 14:58:47 Assunto: Enc: Re: [obm-l] problema interessante!!! Ola Marcio, Me confundi......na realidade o que foi provado é que u^2+v^2 = r^2-s^2 e uv=2rs.... Vou continuar com essa abordagem, e depois te envio uma resposta. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> escreveu: De: luiz silva <luizfelipec...@yahoo.com.br> Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 11:42 Ola Marcio, Um outro caminho é escrever as relações dos lados : a^2+b^2 =c^2 e b^2+c^2=d^2 (onde d é o segmento que vai do vértice do angulo reto até o vértice do angulo oposto, de 60o.). Desta relação, teremos que encontrar u,v e r,s (ternos pitagórico primitivo) tais que: c= u^2+v^2 = r^2-s^2 e b= 2uv=2rs o que é impossível (já foi demonstrado, depois envio esta demonstração) Ps: b deverá ser par, pois da sequações acima, teremos que a^2+2b^2=d^2, onde a solução geral é : a = m^2-2n^2 b= 2mn d=m2+2n^2 com mdc (m, 2n)=1. Abs Felipe --- Em qui, 30/4/09, Márcio Pinheiro <profmar...@yahoo.com.br> escreveu: De: Márcio Pinheiro <profmar...@yahoo.com.br> Assunto: Re: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 30 de Abril de 2009, 8:39 A idéia inicial pode ser expressar AD em função de AB = c e de AC = b (essa é a parte realmente enfadonha). Um caminho (não acessível a quem ainda não tem conhecimentos razoáveis de números complexos) é adotar um plano de Argand-Gauss em que A é a origem e os eixos contêm os catetos. Em um tal plano, sejam A (0, 0), B (0, c) e C (b, 0), por exemplo. O vetor CB pode ser obtido por meio de uma rotação do vetor CD de pi/3 em torno de C.. Lembrando que o vetor PQ, com P (m, n) e Q (p, q), pode ser associado biunivocamente tanto a P - Q (m - p, n - q) quanto ao complexo (m - p) + (n - q)i, i^2 = -1, conclui-se que: (vetor CD)*(cospi/3 + isenpi/3) = (vetor CB), o que equivale a [(x - b) + iy]*[(1/2) + i(sqrt3)/2] = - b + ci, sendo D (x, y). Da igualdade das partes real e imaginária, impõe-se que x = (b + csqrt3)/2 e y = (c + bsqrt3)/2 (espero não ter errado as contas, feitas "de cabeça" :D). Finalmente, obtém-se que AD^2 = b^2 + c^2 + bcsqrt3, através da distância entre os pontos A e D. Supondo que b e c sejam racionais, conclui-se que b^2, c^2 e bc também o são. Logo AD^2 seria irracional. Mas, caso AD fosse racional, AD^2 deveria acompanhar essa racionalidade. Por conseguinte, AD não pode ser, também, racional. É possível obter AD por caminhos sintéticos, usando a Lei dos Cossenos, por exemplo, nos triângulos ABD e ACD, juntamente com mais alguma trigonometria. Entretanto, aí sim a solução fica bem mais bizarra... Espero ter contribuído. Márcio Pinheiro. --- Em qua, 29/4/09, Cleuber Eduardo <cleubersa...@yahoo.com..br> escreveu: De: Cleuber Eduardo <cleubersa...@yahoo.com.br> Assunto: [obm-l] problema interessante!!! Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cc: cleubersa...@yahoo.com.br Data: Quarta-feira, 29 de Abril de 2009, 16:06 Bom, amigos da lista estou pensando nesse problema a alguns dias, no entanto a forma como o fiz é bastante enfadonha.!!!!1.Let ABC be a right triangle (∠A = 90◦). On the hypotenuse BC constructBCD.. Prove that the lengths of the segments AB, AC ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes, and AD cannot all be rational.donha. Obrigado desde já. in the exterior the equilateral triangle ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes ________________________________ Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com