Ola Denisson, Nehab e demais colegas desta lista ... OBM-L, Pessoal, penso que e natural que esta convivencia informal que cultivamos aqui inevitavelmente nos leva a desenvolver certa simpatia por algumas pessoas... Estou seriamente preocupado com o nosso amigo Nehab, pois, pelo que estou sabendo das ultimas mensagens, ele esta em seu escritorio, atracado com um violento Sangaku. Alguem tem noticias dele ?
Bom, amenidades a parte, vamos tentar domar este violento sangaku. Vou usar a figura sugerida pelo Denisson, na mensagem abaixo. Seja AP=X. Sejam tambem : 1) T1, T2 e T3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R2 ) inscrito no traingulo ABP respectivamente nos lados AB, AP e PB 2) Q1, Q2 e Q3 os pontos de tangencia do circulo ( raio R1) inscrito no triangulo PCD respectivamente nos lados CD, DP e PC. R3 e o raio do circulo inscrito no triangulo BPC E facil ver que a area do triangulo BPC e sempre 1/2, independente do valor de AP=X que escolhermos. Sabemos que esta area pode ser expressa assim : 1/2 = R3 *( semi-perimetro do traingulo BPC ) E quem e o semi-perimetro do traingulo BPC ? Vejamos : PB = PT3 + T3B = X - R2 + 1 - R2 = 1 + X -2*R2 PC = PQ3 + Q3C = (1-X) - R1 + 1 - R1 = 2 - X - 2*R1 BC = 1 Logo : semi-perimetro = (4 -2*R1 - 2*R2)/2 = 2 - R1 - R2. E daqui segue : R3*(2 - R1 - R2) = 1/2 => 2 - ( 1/2*R3 ) = R1 + R2 Ou seja, a relacao acima entre os 3 raios independe do valor AP=X que escolhermos. Agora vamos a pergunta dois : Existe X tal que R1:R2:R3 = 1:2:3 ? Se existir um tal X entao R1 + R2 + R3 / 6 = R3/3. Substituindo R1 + R2 por 2 - ( 1/2*R3), ficara : 2 - (1/2*R3) + R3 = 2*R3 => R3 = (2 - raiz_quad(2) ) / 2 ( a outra raiz nao serve por ser maior que 1 ) E facil ver que este valor so ocorre quando AP=X=0, reduzindo-se um dos circulos a um ponto. Assim, nao existe X > 0 que torne R1:R2:R3 = 1:2:3. Um Abraco a todos ! PSR, 61505090B21 > 2009/5/14 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br> > > Oi, Santa Rita, > > O problema do problema é efetivamente evitar o sistema que você mencionou, > que é do terceiro grau... > Aliás, os problemas de geometria ditos "quadráticos" são quase sempre > triviais. > Os bons problemas, em 90% dos casos, são quase sempre "cubicos". > > To atracado com o problema, tentando uma soluao geométrica. Guenta a > mão Denilson... :-) > > Abraços > Nehab > 2009/5/14 Denisson <denisso...@gmail.com>: > Cerca de seis anos atrás eu tive um professor que era fascinado pelos > problemas de sangaku. Alguns eu conseguia fazer, mas confesso que a > maioria > ficava à espera da resposta na próxima semana. Vou mostrar um em > particular > que eu não consegui fazer: > > Considere um quadrado ABCD de lado 1 e tome um ponto P qualquer entre A e > D. > Trace a reta BP e a reta PC. Inscreva um círculo em cada um dos 3 > triângulos > ABP (de raio R2), BPC (de raio R3) e PCD (de raio R1). Encontre o raio dos > 3 > círculos em função da medida AP. Em particular, existe alguma posição do > ponto P sobre AD tal que R1:R2:R3 tome o valor 1:2:3? > > Se não surgirem respostas posto a solução daqui a alguns dias. > > -- > Denisson ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
