Oi, Samuel, Ralph e demais colegas (e Arthur, que faz muita falta por
aqui e anda sumido...),
Cutucando:
Admitindo que a função f seja contínua vale a propriedade?
Seja f:R->R uma funcao CONTINUA EM R e "a" um real tal que f(ax)=af(x),
para todo x real.
Podemos afirmar que há A real tal que f(x)=Ax, para todo x (real) ?
E se enfraquecermos a hipótese para "f contínua em x =0", apenas?
Prove-se ou exiba-se contra-exemplo :-) ....
Abraços,
Nehab
Ralph Teixeira escreveu:
Oi, Samuel. A pergunta eh boa. A resposta... Bom, depende:
ENUNCIADO 1: "Seja f:R->R uma funcao e a um numero real fixo. Suponha
que f(ax)=af(x) para todo x real. Entao f(x)=Ax para algum A fixo."
FALSO. Por exemplo, sejam f(x)={3x se x eh racional; 7x se x eh
irracional} e a=2. Note que vale f(2x)=2f(x) para todo x, mas f nao eh
linear.
ENUNCIADO 2: "Seja f:R->R uma funcao. Suponha que f(ax)=af(x) para
quaisquer a,x reais. Entao f(x)=Ax para algum A fixo."
VERDADEIRO. Basta tomar x=1 e notar que f(a)=f(1).a para todo a real,
isto eh, f(x)=f(1).x para todo x real. Entao A=f(1).
Abraco,
Ralph
2009/5/18 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com
<mailto:sswai...@hotmail.com>>
Se f:R->R então se {f(x)= Ax} A constante,então f(ax) = af(x). Mas
o recíproco é verdadeiro?
f(ax)=af(x) => f(x)= Ax ?
grato
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