Re: RE: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c

[lucianarodriggues]

Em 03/06/2009 19:24, Luís Lopes < qed_te...@hotmail.com > escreveu:

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Sauda,c~oes,
Oi Sergio,
 
Essa sua solução (confesso que não me detive nela)
não segue o espírito das construções geométricas.
Pode no máximo mostrar que o problema possui uma
solução geométrica.
 
Conheço muitas construções elegantes com estes dados.
Pensei ontem e consegui a construção sugerida no Virgilio.
 
Repito o início da construção:
 
Sejam os círculos phi_1 = (C,b) e phi_2 = (C,a). 
Trace uma reta (horizontal) e marque CD_c=d_c nela. 
Até aqui é a sugestão do Virgilio. 
Agora o problema aparece: construir uma reta

 
passando por D_c tal que se

intersecta phi_1 
e phi_2 em A e B, respectivamente, então 
AD_c/D_cB = b/a (teorema das bissetrizes). 

Ou seja, o ponto B possui duas propriedades:
 
1) pertence a phi_2;
 
2) é a imagem de A pela homotetia inversa de centro D_c
e razão a/b. Como A pertence a phi_1, então B pertence
ao círculo phi'_1, transformado de phi_1 pela mesma homotetia.
 
Descrever a constução de phi'_1 é um pouco longo e complicado
sem uma figura. O livro do Wagner mostra como fazer na página 83.
 
Ache B como interseção de phi_2 e phi'_1. A reta (B,D_c) é a reta

pedida.
 
[]'s
Luís  
 

 
> From: sergi...@lps.ufrj.br
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] construir triangulo dados a,b,d_c
> Date: Wed, 3 Jun 2009 10:32:57 -0200
>
> Caro Luís,
>
> Como vão as coisas? Por aqui tudo corrido, mas sempre se
> acha um pouco de tempo para um probleminha desses.
>
> Eu resolvi assim:
>
> Ignore os circulos phi_1 e phi_2 e esboce um triângulo ABC
> tradicional, marcando D_c sobre AB. O problema pede
> para determinarmos a reta suporte do lado AB
> passando por D_c e fazendo um angulo teta (a ser determinado) com CD_c.
>
> Chamemos de C/2 o angulo ACD_c = BCD_c. Assim, usaremos a
> mesma letra C para denotar duas coisas distintas
> (o vértice do triângulo e o ângulo ACB). O contexto
> deixa claro do que estamos falando .
>
> Pela lei dos senos no triângulo ABC:
>
> (1) CD_c / sen (teta - C/2) = b / sen (180 - teta) = b / sen (teta)
> (2) CD_c / sen (180 - C/2 - teta) = CD_c / sen (C/2 + teta) = a / sen (teta)
>
> Temos que eliminar o angulo C/2 das equacoes acima e achar
> uma expressao (trigonometrica) para teta. Reescrevendo o sistema:
>
> (3) sen (teta - C/2) = CD_c sen (teta) / b
> (4) sen (teta + C/2) = CD_c sen (teta) / a
>
> => (transformação em produto)
>
> (5) sen (teta) cos (C/2) = CD_c sen (teta) (a + b) / (2ab)
> (6) sen (C/2) cos (teta) = CD_c sen (teta) (b - a) / (2ab)
>
> =>
>
> (7) cos (C/2) = CD_c (a + b) / (2ab)
> (8) sen (C/2) = CD_c (b - a) tg (teta) / (2ab)
>
>
> => (relação trigonométrica fundamental)
>
> (9) [ CD_c^2 (a + b)^2 ] + [ CD_ c^2 (b - a)^2 tg^2 (teta) ] = 4 a^2 b^2
>
> =>
>
> (10) tg (teta) = sqrt{ [4 a^2 b^2 - CD_c^2 (a + b)^2 ] } / ( CD_c | b - a | )
>
> Ou seja, "basta" você construir no braço a expressão acima para determinar
> o ângulo teta e, conseqüentemente, a reta suporte do lado AB! Com certeza,
> um geômetra mediano olha esta expressão e gera uma
> construção elegante. Se não me engano a expressão de cos (teta) fica um
> pouco mais simples.
>
> Abraço,
> sergio
>

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