01. Pelo teorema de Bezout existem inteiros x e y tais que ax + by = 1.
Agora , para tais x e y podemos considerar a expressão:
(2a + b ) x + ( a + 2b ) y = 2ax + bx + ay + 2by = ( ax + by ) + 2(ax + by)
= 1 + 2.1=3. Assim se d é o mdc de 2a + b e a +2b então
d divide a expressão (2a + b ) x + ( a + 2b ) y que vale 3, portanto d=1 ou
d=3.
02. Igualando a expressão dada a um trinômio quadrado perfeito em n
elevado ao quadrado e comparando coeficientes de mesmo grau sai
(n^2 + 3n + 1 ) ^2 .
03. Certamente n=1 serve, é o único. Se (n +1) divide n^2 + 1, como n+ 1
divide n^2 1 , n+ 1 divide a diferença dessas expressões, que é 2,
daí n + 1 divide 2, nas condições propostas n=2.
Dê uma olhada se está inteligível.
Um abraço
Osmundo Bragança
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De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome
de Diogo FN
Enviada em: domingo, 20 de setembro de 2009 11:40
Para: OBM
Assunto: [obm-l] Teoria dos Números
Estava resolvendo algumas questões de teoria, e não consegui essas:
01. Mostrar que se (a,b) = 1, então (2a + b, a + 2b) = 1 ou 3
02. Mostrar que sendo n um inteiro, o número n(n+1)(n+2)(n+3) + 1 é um
quadrado perfeito.
03. Encontrar todos os inteiros positivos n para os quais (n + 1) | (n² +
1).
Agradeço.
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