02. Mostrar que se P1 e P2 são primos tais que P2 = P1 + 2 e P1>3 então P1 + P2
é congruente 0 (mod12).
Vamos observar a congruência módulo 12 dos números primos maiores que 3: só é
possível que um primo seja congruente a 1, 5, 7 ou 11 módulo 12 (0, 2, 3, 4, 6,
8, 9 e 10 não são possíveis, pois, por exemplo, se p==4(mód 12),
p=12k+4=4(3k+1), que não é primo.)
Mas, se p2=p1+2, p1==11(mód 12) e p2==1(mód 12) => p1+p2==0 (mód 12), ou
p1==5(mód 12) e p2==7(mód 12) => p1+p2==0 (mód 12),
e o resultado segue.
03. Mostrar que para a e b inteiros temos que 3|(a² + b²) então 3|a e 3|b.
Veja que n^2==0 ou 1 (mód 3). Como a^2+b^2==0 (mód 3), não é possível a^2==1
(mód 3) ou b^2==1 (mód 3), de onde temos que a única congruência possível para
a^2 e b^2 é 0 (mód 3)=> 3|a e 3|b
04. Mostrar que 47| (2^23 - 1)
2^10=1024==37 (mód 47) => 2^20==37^2=(-10)^2==100==6 (mód 47)
Daí, 2^23==6*2^3==48==1 (mód 47)
=> 2^23-1==0 (mód 47), e o resultado segue.
Date: Tue, 29 Sep 2009 14:02:57 -0700
From: diog...@yahoo.com.br
Subject: [obm-l] mais algumas de teoria dos números
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Obrigado sempre pela ajuda de vocês.
Será que podem me ajudar nessas?
01. Seja p diferente de 2 e 5 um número primo e admita que a representação
decimal da fração 1/p possui período de comprimento par, ou seja,
1/p = 0,a1a2a3.....ak....a2k. Mostre que ai + a(k+1) = 9 para todo i pertecente
{1,2,...,k}.
Obs.: a1 - quer dizer a indice 1
a(k +1) - quer dizer a indice k +1.
02. Mostrar que se P1 e P2 são primos tais que P2 = P1 + 2 e P1>3 então P1 + P2
é congruente 0 (mod12).
03. Mostrar que para a e b inteiros temos que 3|(a² + b²) então 3|a e 3|b.
04. Mostrar que 47| (2^23 - 1)
Obrigado mais 01 vez!
Saudações Matemáticas,
Diogo FN.
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