Nossa...
Super obrigado, monstro!
Me deparei com essa questão num livro de ensino médio. É item b de uma questão
dita da fuvest. Não acredito que a fuvest tenha cobrado isso em nenhum momento
de sua existência. O item a pedia o volume de um prisma em função de um ângulo
x, resultando em [(sqrt3)/8][(sen x)^2.(cos x)]. O item b era essa selvageria.
De qualquer maneira, valeu!
Mais uma vez, obrigadíssimo!
Um abraço!
Grego
--- Em dom, 24/1/10, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu:
De: Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>
Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] máx e mín sem derivada
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Domingo, 24 de Janeiro de 2010, 23:34
Seja t=cosx. Entao sua funcao eh g(t)=(1-t^2)t=t-t^3.
Bom, seja a=raiz(3)/3. Queremos provar que g(t)<=g(a) para todo t em [-1,1].
Vejamos:
t-t^3 <= a-a^3 sse
t-a <= t^3-a^3 sse
(t-a) <= (t-a)(t^2+at+a^2) sse
(t-a) (t^2+at+a^2-1) >= 0 sse
(t-a) (t-a) (t+2a) >= 0
(Esta fatoracao funciona pois -2a^2=a^2-1)
e esta ultima desigualdade eh valida pois
(t-a)^2 >=0 para todo t;
t+2a >= -1+2a =(2raiz(3)/3)-1>=0 tambem sempre que t>=-1.
Como a estah em [-1,1], e eu fiz tudo com sse, concluimos que g(a)=a-a^3 eh o
maximo da funcao g no intervalo [-1,1].
Abraco, Ralph.
2010/1/24 grego <profgr...@yahoo.com.br>
Olá!
Alguém poderia por favor determinar o valor de x que maximiza a função f(x) =
(sen x)^2.(cos x) sem derivar? Derivando, tg x = sqrt2.
Um abraço!
Grego
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