Olá Thiago. No ano passado eu estava olhando umas Eurekas e tinha um problema que chegava numa fatoração muito parecida. Dá pra resolver do jeito que o Salhab mostrou. Pra quem quiser, o problema era esse: Eureka nº 10, p. 49. *76. (Moldávia-2000) *Os números inteiros a, b, c satisfazem à relação a + b + c = 0. Mostre que o número 2a^4 + 2b^4 + 2c^4 é um quadrado perfeito.
[]s Rafael 2010/1/31 Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com> > Olá Thiago, > continuando de onde vc chegou: > x^4+2x^3-x^2-2x+1 > > Veja que isso é um polinomio reciproco. > Vamos colocar x^2 em evidência: > > x^2(x^2 + 2x - 1 - 2/x + 1/x^2) > x^2[x^2 + 1/x^2 + 2(x - 1/x) - 1] > > Opa! Vamos fazer (x - 1/x) = y > Assim: y^2 = x^2 - 2 + 1/x^2, logo: x^2 + 1/x^2 = y^2 + 2 > Logo: > > x^2[y^2 + 2 + 2y - 1] > x^2(y+1)^2 > > Substituindo (x - 1/x) = y, temos: > x^2(x - 1/x + 1)^2 > [x(x - 1/x + 1)]^2 > (x^2 - 1 + x)^2 > (x^2 + x - 1)^2 > > Que é um quadrado perfeito! ;) > Obviamente existem outras maneiras de fatorar, só te apresentei a maneira > clássica de polinomios reciprocos. > > Apenas para te mostrar o que vc percebeu qdo testou para vários casos, > vamos chamar: > f(x) = x^2 + x - 1 > > Vamos analisar a diferença de dois termos consecutivos: > f(x+1) - f(x) = (x+1)^2 + (x+1) - 1 - x^2 - x + 1 = (x^2 + 2x + 1) + 1 - > x^2 = 2x + 2 = 2(x+1) > > Que é justamente a PA de 2a. ordem que vc encontrou! > > abraços, > Salhab > > > > 2010/1/31 Thiago Tarraf Varella <thiago_...@hotmail.com> > > Eu vi aí na internet que a multiplicação de 4 naturais consecutivos mais >> um dará sempre um quadrado perfeito... tentei provar isso mas só levei ferro >> :/ >> Olha, primeiro eu tentei fatorar: >> (x-1)x(x+1)(x+2)+1 >> (x²-1)x(x+2) >> (x³-x)(x+2) >> - >> x4+2x³-x²-2x+1 >> - >> Tentei: >> x²(x²) + 2x(x²) - 1(x²) - 2x+1 >> x²(x²+2x-1)-2x+1 >> ... >> Tentei: >> x³(x) + 2x²(x) - x(x) - 2(x) + 1 >> x(x³+2x-x-2)+1 >> ... >> Resolvi procurar alguma semelhança nisso: >> RAIZ[1*2*3*4+1]=5 >> RAIZ[2*3*4*5+1]=11 >> RAIZ[3*4*5*6+1]=19 >> RAIZ[4*5*6*7+1]=29 >> >> Os resultados darão sempre assim: >> 5 +6 >> 11 +8 >> 19 +10 >> 29 +12 >> 41 +14 >> 55 +16 >> ... + 18 >> ... >> >> Mas não concluí nada com isso... alguém pode me dar uma luz aí por favor? >> >> ------------------------------ >> Quer brincar com as suas fotos e fazer álbuns divertidos? Clique aqui e >> saiba >> como.<http://www.eutenhomaisnowindowslive.com.br/?utm_source=MSN_Hotmail&utm_medium=Tagline&utm_campaign=InfuseSocial> >> > >
