Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo:
-- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores.... :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou.... :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br> > Oi, Ralph e Hermann, > > (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) > > Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado > polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. > (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais > natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar > fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio". > Daí começo com o óbvio: > > a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); > b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas; > c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios > das diagonais... > > Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: > Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n > vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o > "equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas > coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as > coisas funcionam? Onde dá zebra? > > E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no > R3; etc. > > Abraços a todos, > Nehab > > Ralph Teixeira escreveu: > > Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono > A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o > centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos > vertices. > > Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente > ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: > > SUM (G-Ai)=0 > SUM G = SUM Ai > nG = SUM Ai > G= (SUM Ai)/n > (SUM eh somatorio, i=1 a n) > > Ajudou? > > Abraco, > Ralph > 2010/5/11 Hermann <ilhadepaqu...@bol.com.br> > >> Boa noite. >> >> Existe baricentro de um polígono? >> Se *não*. Perdoem minha ignorância. >> Se *sim*. >> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: >> >> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório >> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. >> >> Muito obrigado >> Hermann >> > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=========================================================================
