Bom, ok, neste caso: vale a pena notar que as diferentes nocoes de baricentro que o Bernardo mencionou NAO sao identicas.
Por exemplo, tome um triangulo retangulo isosceles ABC, hipotenusa BC. O baricentro que eu gosto de usar eh o centro de massa "dos vertices", que neste caso coincide com o centro de massa do "interior do triangulo". Mas o centro de massa "do perimetro" eh outro! Afinal, os medios de AB e AC entram com peso 1, mas o medio de BC entra com peso raiz(2)... No espaco, ha outros problemas. Dado o poligono ABCD, o centro de massa dos vertices seria (A+B+C+D)/4; o do "perimetro" fica em outro lugar que depende um pouco mais dos comprimentos dos lados. E o do "interior 2D do poligono" nem estah definido, porque nao eh claro quais sao as "faces 2D do poligono ABCD". Enfim, tem o centro de massa do tetraedro ABCD, este sim que coincide com o centro de massa dos vertices; se eu entendi bem, era deste tipo de surpresa que o Bernardo falava. Entao, em suma, concordo com o Nehab e o Bernardo: pensar nessas coisas eh bem instigante e divertido... :) Abraco, Ralph. P.S.: mesmo no caso 2D, quando o poligono nao eh convexo, o centro de massa pode ficar fora do interior do poligono, entao aas vezes a gente vai ter que "segurar o poligono pelo ponto sem massa" de qualquer jeito... :) 2010/5/13 Bernardo Freitas Paulo da Costa <bernardo...@gmail.com> > O Ralph e Nehab, > > bom, eu vou dar uma de intrometido e tentar adivinhar o que o Nehab > queria, e que o Ralph não respondeu. Talvez seja só porquê o que eu > vou dizer em seguida foi (e continua sendo) uma das coisas que mais me > fascina e perturba. Mas é o seguinte: > > Tá, ok, você (Ralph) definiu o baricentro como sendo o ponto de > equilíbrio de massas pontuais no vértice de um polígono. Muito bem, > essa noção é interessante, e simples, o que é fundamental para > trabalhar. Mas acontece que o Nehab acha (e eu também) que uma coisa > importante de um baricentro é poder "pegar o baricentro e segurar a > figura sem ela se mexer". E infelizmente, ninguém vai segurar um > polígono que não tem massa no centro pelo centro dele. Pelo menos não > na escola, sem forças que agem à distância como a gravidade. Daí que > eu acho que a idéia do Nehab é muito boa, "não, galera, o baricentro é > o centro da figura plana inteira !" (leia-se com massa uniforme, é > claro). Parece mais palpável, e inclusive é isso que a gente vai fazer > com os polígonos, né? Mas surge um problema mais profundo: e como a > gente calcula agora esse baricentro de uma infinidade de pontos? E o > pior de tudo, como é que a gente prova que vai sempre dar a mesma > coisa que só botar massas pontuais nos vértices? E mais grave ainda: > será que essas mesmas contas continuam válidas para os sólidos (que > são os únicos objetos realmente reais que existem!!!)? Indo um pouco > mais a frente, surge uma outra interpretação: "e se em vez de massas > pontuais - um pouco forçado, ainda mais para ser uma estrutura rígida > - fosse somente o bordo do polígono?". Puxa, mais uma outra definição, > que também pode ser útil, e paf, mais um problema de tentar provar que > dá tudo igual... > > Depois que eu me acostumei com integração, isso mudou de cara, e > principalmente de método. Eu sabia como fazer as contas, não precisava > mais de algumas fórmulas mágicas (mesmo que na maior parte do tempo > fossem elas que eu usasse, porque vai muito mais rápido!!) e me sentia > capaz de resolver qualquer problema do gênero. Mas persiste o espanto > que muitas dessas noções coincidam, e principalmente o fato de nem > sempre coincidirem me faz pensar que talvez a gente tenha "deixado > passar" alguma coisa importante... > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > P.S.: para quem é físico de corpo e alma, além de matemático, os > exemplos de segurar no baricentro só funcionam se não houver momento > no dito-cujo, senão mesmo que a gente segure no ponto certo, a figura > vai "rodar sem perder o eixo", mas como um dedo não é como um ponto > material, vai escorregar e cair. Ou então, espere dar 180° e vai ficar > embaixo do dedo ;-) > > 2010/5/13 Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com>: > > Oi, Nehab. > > > > Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas > > distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias > > maneiras... Por exemplo: > > > > -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos > > vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; > > -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em > comum, > > tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o > mesmo. > > -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o > > medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. > > -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o > baricentro > > divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. > > > > (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem > > vetores.... :( ) > > > > Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta > > igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou.... :) > > > > Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais > > criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. > > Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro > do > > heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos > > poderiam ser agrupados de varios jeitos) > > > > (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes > de > > figurinhas legais para fazer) > > > > Abraco, Ralph. > > > > 2010/5/12 Carlos Nehab <ne...@infolink.com.br> > >> > >> Oi, Ralph e Hermann, > >> > >> (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) > >> > >> Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado > >> polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. > >> (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais > >> natural "pensar na massa distribuída na superfície" do polígono e tentar > >> fazê-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilíbrio". > >> Daí começo com o óbvio: > >> > >> a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); > >> b) Num triângulo é a "sabida" interseção das medianas; > >> c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios > >> das diagonais... > >> > >> Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: > >> Dá pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n > >> vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o > >> "equilíbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de > suas > >> coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as > >> coisas funcionam? Onde dá zebra? > >> > >> E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo > no > >> R3; etc. > >> > >> Abraços a todos, > >> Nehab > >> > >> Ralph Teixeira escreveu: > >> > >> Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do > poligono > >> A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria > o > >> centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas > nos > >> vertices. > >> > >> Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente > equivalente > >> ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: > >> > >> SUM (G-Ai)=0 > >> SUM G = SUM Ai > >> nG = SUM Ai > >> G= (SUM Ai)/n > >> (SUM eh somatorio, i=1 a n) > >> > >> Ajudou? > >> > >> Abraco, > >> Ralph > >> 2010/5/11 Hermann <ilhadepaqu...@bol.com.br> > >>> > >>> Boa noite. > >>> > >>> Existe baricentro de um polígono? > >>> Se não. Perdoem minha ignorância. > >>> Se sim. > >>> Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: > >>> > >>> Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o > Somatório > >>> dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. > >>> > >>> Muito obrigado > >>> Hermann > >> > >> > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= >
