2010/8/4 Henrique Rennó <henrique.re...@gmail.com> > Errei colocando que h(x) = x^2 + 1/x é par. Gostaria de uma > demonstração das seguintes propriedades: > > - A soma de duas funções de mesma paridade mantém essa paridade. > - O produto de duas funções de mesma paridade é uma função par. > - O produto de duas funções com paridades distintas é uma função ímpar. > > Encontrei as propriedades acima em > http://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%B5es_pares_e_%C3%ADmpares. > Não sei sei pode ser considerada uma fonte confiável. > As provas são imediatas da definição. Uma função f é dita impar sse f(-x) = -f(x) Uma função f é dita par sse f(-x) = f(x)
Então vamos trabalhar com os produtos. Seja g ímpar e f par: f(-x) * g(-x) = - f(x)*g(x) Então a função produto é ímpar. Se ambas forem pares: f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Se ambas forem ímpares: f(-x) * g(-x) = (-f(x))*(-g(x)) f(-x) * g(-x) = f(x) * g(x) então o produto é par Suponha que f é par e g é par: Então f(-x) + g(-x) = f(x) + g(x) Então a função da soma é par Suponha que f é ímpar e g é impar: Então f(-x) + g(-x) = -f(x) - g(x) = - (f(x) + g(x)) Então a soma é ímpar. Note que criamos uma terceira função, diga "h" em todos os casos. Nos casos em que trabalhamos com o produto h(x) = f(x) * g(x), e quando trabalhamos com a soma h(x) = f(x) + g(x) O que fizemos foi provar nos casos acima que h(-x) = h(x), para quando o h fosse par, ou que h(-x) = -h(x) quando h fosse ímpar. -- []'s Lucas
