Olá, você já estudou análise real? Sei que no livro no Rudin tem isto demonstrado da maneira mais elementar possível (elementar no sentido de usar poucas ferramentas). Só usa que R é completo e algumas desigualdades. Não lembro exatamente como é a demonstração, mas basicamente é isso:
*Teorema*: Dado r real positivo e n natural, existe um único x positivo tal que x^n=r. (O que você quer segue trivialmente disto). *Ideia da demonstração:* Ver que a solução é única é fácil, visto que 0<a<b implica em 0<a^n<b^n. Para mostrar a existência, considere o conjunto A dos t reais tais que t^n<r. Mostre que este conjunto é limitado e portanto existe sup(A). Você deve mostrar que x=sup(A), isto é, sup(A)^n=r. Para isso, suponha sup(A)^n>r e, depois, sup(A)^n<r e chegue em contradições. Talvez tenha no Elon também, mas eu não o conheço direito. 2010/9/13 Johann Dirichlet <peterdirich...@gmail.com> > A maneira que me vem à cabeça é usar o teorema do valor intermediario. > > Podemos fazer algumas suposições: > |r| < 1. De fato, se |r|<1, troque r por R=1/r e x por X=1/x. Assim, > teremos X^n=R, com |R|>1, e resolver essa equacao é equivalente > resolver a original. > > Caso n ímpar: > Se r < 0, podemos trocar x por -x e r por -r. Vamops entao supor r>1. > > Enfim, existe um valor de x tal que x^n-r>0. Isso e relativamente > facil de demonstrar usando limites ou algo que valha. > Igualmente, existe outro valor de x tal que x^n-r<0. > > Pelo teorema do valor intermediario, existe um cara entre estes dois > extremos tal que x^n=r=0. > > O caso par fica por sua conta :) > > > Em 11/09/10, Guilherme Vieira<rjguilhermevie...@hotmail.com> escreveu: > > > > Solicito aos amigos uma demonstração do teorema enunciado a seguir. > > Obviamente, a propriedade é muito conhecida. A demonstração, entretanto, > > parece-me muito difícil. > > > > Teorema: Se x é uma variável real, n é um número natural (não nulo) e r é > > uma constante real, a equação algébrica x^n = r admite uma única solução > > real quando n é ímpar e admite duas soluções reais quando n é par e r>0. > > > > > > Obrigado!!! > > Guilherme > > > -- > /**************************************/ > Quadrinista e Taverneiro! > > http://tavernadofimdomundo.blogspot.com >> Quadrinhos, histórioas e afins > http://baratoeletrico.blogspot.com />> Um pouco sobre elétrons em > movimento > http://bridget-torres.blogspot.com/ >> Personal! Do not edit! > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html> > ========================================================================= > -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
