Na realidade, isto é verdade sempre que lim a_n = L, sendo L qualquer elemento do sistema dos reais expandidos. Finito ou infinito.
Para n >=2, temos que a[1] + a[2] + ... + a[n]) / n = a[1]/n + (a[2]...+ a[n])/n = a[1]/n + (n -1)/n + (a[2]...+ a[n])/(n - 1) (a[2]...+ a[n])/(n - 1) é a sequência das médias aritméticas de (a[2], a[3],...a[n]...). Como esta sequência tende para L (pois a[n] --> L), segue-se do teorema de Cesaro que a sequência de suas médias aritméticas também tende para L. Além disto, quando n --> oo, temos que a[1]/n --> 0 e (n -1)/n --> 0. Logo, lim a[1] + a[2] + ... + a[n]) / n = 0 + 1 . L = L, seja L finito ou infinito. A prova do teorema de Cesaro é encontrada facilmente na internet, no MathWorld ou na Wilkipedia. Há até uma generalização interessante, que não é muito difundida. Seja a[n] uma sequência de reais, p[n] uma sequência de pesos positivos e s_n = (p[1] a[1]...+... p[n] a[n])/(p[1]...+...p[n]) a sequência das médias ponderadas de a[n] com relação a p[n]. Se Soma p[n] divergir, então, liminf a[n] <= liminf s[n] <= limsup s[n] <= limsup a[n]. Disto, segue-se imediatamente que, se a[n] --> L, então s[n] --> L, L nos reais expandidos. A seq. das médias aritméticas é o caso particular quando p[n] = 1 para todo n. É imediato que, neste caso Soma(i =1, n) p[i] = n diverge para oo. Abraços Artur Em 13 de novembro de 2010 21:03, Hugo Botelho <hugob2...@gmail.com>escreveu: > Alguém sabe como fazer a prova formal do teorema abaixo? > > "Considere uma sequência de termo geral a[n].Se lim a[n] = +oo, quando > n->+oo > Então lim (a[1] + a[2] + ... + a[n]) / n = +oo, com n->+oo" > > Grato. >
