Bem, respondendo:
1 - Errei: para k=0 o valor é 1
2 - Tem uma especie de dispositivo pratico, que funciona na mesma
ideia do triangulo de Pascal:
0 0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 0 ... 0 1
0 0 0 ... 0 1
0 0 ... 0 1
0 ... 1
1
Este e o triangulo das diferenças de f(n,k).
Depois de um numero finito de passos (n+1, se nao me engano) a ultima
linha fica constante (neste caso igual a 1).
Ai e so reverter...
Existe uma formula pronta, mas eu quase nao decoro...
Em 09/12/10, Henrique Rennó<henrique.re...@gmail.com> escreveu:
> Em 28/11/10, Johann Dirichlet<peterdirich...@gmail.com> escreveu:
>> Por que este povo tem tanto pavor de "uma prova que não use outros
>> conceitos alem do enunciado"?
>> Eu mesmo conheço vários problemas que são resolvidos usando outras
>> técnicas. Na IMO de Glasgow teve um problema de Teoria dos Números com
>> uma solução que usava polinômios. E tem um monte de problemas de
>> teoria dos números que se resolvem usando técnicas de combinatória (o
>> teorema de Euler-Fermat, por exemplo).
>>
>> De todo modo, só pra não perder o propósito da mensagem:
>>
>> Uma maneira seria observar que f(n,k)=(k+1)(k+2)...(k+n)/n! é um
>> polinômio de grau n em k.
>> Ele é completamnte determinado se eu utilizar (n+1) valores de k.
>>
>> Para k de -1 até -n, este polinômio é igual a zero, e para k=n+1 ele vale
>> 1.
>> A partir daí, usando a fórmula de interpolação de Newton (ou uma
>> modificação do triângulo de Pascal), este polinômio é inteiro para
>> todo n inteiro.
>
> Como isso pode ser verificado?
>
>>
>>
>> Em 27/11/10, Carlos Alberto da Silva Victor<victorcar...@globo.com>
>> escreveu:
>>> Olá Paulo,
>>> Verifique se esta ideia satisfaz o que desejas .
>>>
>>> Por indução :
>>>
>>> 1) para n=1,2 e 3 é fácil de observar tal fato .
>>> 2) hipótese : válida para n fatores consecutivos.
>>>
>>> 3) Tomemos (n+1) fatores consecutivos :P = k(k+1)....(k+n-1).(k+n) .Por
>>> hipótese k(k+1)....(k+n-1) é divisível por n! . Não é difícil mostrar que
>>> o
>>> produto de n fatores consecutivos é divisível por n .Como P possui (n+1)
>>> fatores, temos que o valor (n+1) está em um dos fatores(ou divisor de um
>>> dos
>>> fatores) de P e, já que n e (n+1) são primos entre si , P será divisível
>>> por
>>> n! e (n+1) , ou seja, divisível por (n+1)! , ok ?
>>>
>>> Abraços
>>>
>>> Carlos Victor
>>>
>>>
>>>
>>>
>>>
>>> Em 27 de novembro de 2010 18:29, Paulo Argolo
>>> <argolopa...@hotmail.com>escreveu:
>>>
>>>> Obrigado, Tiago.
>>>>
>>>> O que desejo, na verdade, é obter uma demonstração que não use
>>>> propriedades
>>>> dos coeficientes binomiais, nem recorra à Análise Combinatória. Em suma:
>>>> gostaria de ver uma prova puramente aritmética.
>>>>
>>>> Abraços do Paulo!
>>>>
>>>>
>>>>
>>>
>>
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> Henrique
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