Oi, pessoal.
Olha, esta integral é um porre (bom, eu não gosto dela), mas, é claro, sai
no braço, com frações parciais.
Então, seja f(x)=(x^2-3x+7)/(x^2-4x+6)^2
a) Como o denominador não é fatorável nos reais, complete os quadrados.
Então, faça u=x-2. Assim, a função passa a ser g(u)=(u^2+u-5)/(u^2+2)^2 ou
algo assim.
b) Agora vamos às frações parciais: (u^2+u-5)/(u^2+2)= (Au+B)/(u^2+2)^2 +
(Cu+D)/(u^2+2). Deu (u+3)/(u^2+2)^2 + 1/(u^2+2), ou algo assim.
c) Agora, u/(u^2+2)^2 você integra fazendo z=u^2+2. Dá integral de (1/2)/z^2
dz, tá em casa. Diga-se de passagem, se tivesse um termo Cu/(u^2+2), o mesmo
z=u^2+2 tomava conta dele, ficaria uma integral de (C/2)/z dz, tá ok.
d) Para 1/(u^2+2), é só fazer u=sqrt(2)w, que cai num arctan rapidinho. É
como se estivéssemos fazendo w=tan(t) para cair numa trigonométrica, mas
acho que a maioria do pessoal já decorou que Int 1/(1+t^2) dt = arctan t...
e) Enfim, a mais chata é aquela do 1/(u^2+2)^2 (o 3 não incomoda). Como na
anterior, faça u=sqrt(2)w para cair em 1/(w^2+1)^2 (e constantes
multiplicativas). Agora faça w=tan(t); fica algo assim
Int 1/(w^2+1)^2 dw = Int 1/((tant)^2+1)^2 . (sect)^2 dt = Int (cost)^2 dt =
t/2 + sin(2t)/4.
Agora tem que desenrolar todas estas mudanças para voltar para o x original:
sin(2t)=2sintcost=2tant/(1+(tant)^2)=2w/(1+w^2)=...
e assim por diante. Argh. :)
Abraço,
Ralph
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Date: Sun, 12 Dec 2010 10:51:09 -0200
Subject: [obm-l] Dificuldade numa integral
From: rodrigue...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Olá, pessoal!!!
> Tudo bem???
> Estou com dificuldade para resolver esta integral:
>
> [(x^2 - 3x + 7)/((x^2 - 4x + 6)^2)]dx
>
> Será que alguém pode me ajudar?
> Tentei resolver pelas frações parciais mas empaquei.
> Um abraço para todos e muito obrigado.
> Luiz Antonio
>
