Ola' Joao, o hexagono e' regular, mas o valor que eu havia calculado TAMBEM esta' errado, pois a diagonal do cubo esta' inclinada em relacao ao plano horizontal. Logo o diametro do circulo circunscrito e' menor que sqrt(3).
A solucao mais obvia, e que garante inclusive que a projecao tenha area maxima (conforme pedido pelo enunciado), e' a seguinte: Suponha que o cubo esteja na posicao que gera a maior sombra. Tome o vertice superior (no maximo existirao 2 vertices na mesma altura - tome um deles). Chame-o de Z. Considere as 3 arestas ligadas a este vertice. Considere os outros vertices pertencentes 'as 3 arestas. Chame-os de A,B e C. Repare que a projecao do cubo e' um hexagono com exatamente o dobro da area da projecao do triangulo equilatero ABC, de lado sqrt(2). Repare tambem que a projecao de ABC tem area maxima quando ABC e' horizontal. E a area de ABC vale sqrt(3)/2. Logo a area do hexagono maximo vale sqrt(3). []'s Rogerio Ponce. Em 26 de janeiro de 2011 15:11, Rogerio Ponce <abrlw...@gmail.com> escreveu: > Ola' Joao, > conforme eu ja' havia dito, o hexagono em questao e' REGULAR. > E não tem nenhuma diagonal sqrt(3) paralela ao plano horizontal. > Voce e a OBM estao errando nisso. > Se voce mesmo nao chegar 'a uma solucao "bonitinha", mais tarde eu explico > melhor... > > []'s > Rogerio Ponce > > > 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> > >> Boa Tarde Rogério, >> >> Sua resolução está perfeitamente correta para um hexágono REGULAR , como >> voce disse . Acontece que para o hexágono ser regular todas as diagonais >> sqrt(3) do cubo têm que estar paralelas ao plano, e consequentemente entre >> si mesmas. E isso não é possível já que as diagonais maiores do cubo não são >> paralelas. Essa solução geraria um hexágono sim, mas não um hexágono >> regular. A medida de seus outros "raios" seria menor que sqrt(3)/2, e >> consequentemente a área seria menor que 9*sqrt(3)/8. >> Sua solução é justamente a do link (veja como o hexágono não é regular), >> e a área desse hexágono vale sqrt(6) - 1. >> Agora veja o que estou dizendo, não estou falando que sqrt(3) é a MAIOR >> área da projeção ortogonal do cubo, pode até ser, mas sim que é uma POSSÍVEL >> área. Logo como sqrt(3) < sqrt(6) - 1, a solução da OBM estaria errada. >> >> Ainda estou tentando achar um erro em minha solução mas ainda não >> encontrei. É isso que queria saber, minha solução está errada o a solução >> oficial que está errada? >> >> Grato, >> João >> ------------------------------ >> Date: Wed, 26 Jan 2011 10:56:27 -0200 >> >> Subject: Re: [obm-l] OBM terceira faze nivel 3 - Gabarito duvidoso >> From: abrlw...@gmail.com >> >> To: obm-l@mat.puc-rio.br >> >> Ola' Joao, >> eu diria que as duas solucoes estao erradas. >> A maior projecao gera um hexagono REGULAR. Como a diagonal do cubo mede >> sqrt(3), este sera' o diametro do circulo circunscrito ao hexagono. Logo a >> area do hexagono deve ser >> 6* [sqrt(3)/2 * sin60] * [sqrt(3)/2 * cos60] >> Ou seja, >> 9*sqrt(3)/8 >> >> []'s >> Rogerio Ponce >> >> >> >> 2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com> >> >> OBM 2010 Terceira Fase >> >> >> PROBLEMA 3 >> Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a >> pino? >> Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a >> maior área possível para a >> projeção ortogonal da figura sobre um plano. >> >> O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem >> área sqrt(6) - 1 >> >> http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf >> >> Mas tome o seguinte: >> Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o >> vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano. >> As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As >> 3 faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. >> Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua >> lateral composta por triêngulos retângulos. >> Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com >> base regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros. >> Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil >> calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da >> base). >> Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e >> B), já que os dois tetraedros tem a mesma base. >> Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede >> 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1. >> >> Pergunta: >> Qual das duas soluções está errada? >> >> >> >
