Concordo contigo, João: projetando um cubo ABCD-EFGH num plano paralelo a
BDE, temos um hexágono regular de área raiz(3) -- então aquela solução que
dizia raiz(6)-1 não pode estar certa.
Isto dito, há algum motivo para acreditar que a solução oficial da OBM é a
do link dado?
Abraço,
Ralph
2011/1/26 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
> OBM 2010 Terceira Fase
>
>
> PROBLEMA 3
> Qual é a maior sombra que um cubo sólido de aresta 1 pode ter, no sol a
> pino?
> Observação: Entende-se “maior sombra de uma figura no sol a pino” como a
> maior área possível para a
> projeção ortogonal da figura sobre um plano.
>
> O que me perturba é que a resolução desse site dá que a maior sombra tem
> área sqrt(6) - 1
>
> http://files.supergel57.webnode.com.br/200000496-53215537a7/Resolu%C3%A7%C3%A3o%208.pdf
>
> Mas tome o seguinte:
> Coloque qualquer vértice do cubo (A) em contato com um plano de modo que o
> vértice oposto (B) forme uma reta perpendicular ao plano.
> As 3 arestas que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano. As 3
> faces que saem desse vértice formam o mesmo ângulo com o plano.
> Logo os vértices adjacentes formam um tetraedro com base regular e sua
> lateral composta por triêngulos retângulos.
> Os vértices não adjacentes (com exceção de B) formam um tetraedro com base
> regular e sua lateral composta por triângulos equiláteros.
> Considerando a reta AB, esta é altura dos tetraedros. Logo fica fácil
> calcular a distância de AB e os vértices (2/3 da altura do triângulo da
> base).
> Essa distância é sqrt(6)/3 para todo os 6 vétices (não contando com A e B),
> já que os dois tetraedros tem a mesma base.
> Ou seja, é formado um hexágono de raio sqrt(6)/3 cuja área mede
> 6.(sqrt(6)/3)² sqrt(3)/4 = sqrt(3) > sqrt(6) - 1.
>
> Pergunta:
> Qual das duas soluções está errada?
>
