Oi Luís! Alguns pitacos... 2011/2/24 Luís Lopes <qed_te...@hotmail.com>: > Sauda,c~oes, > > Acabo de receber as questões abaixo. Não conheço tais assuntos. > Alguma sugestão? > > []'s > Luís > > 1) Chamo produto fatorial o produto de m>=2 termos consecutivos. > de uma progressão aritmética de razão r /= 0, cujo primeiro termo > seja a /=0, todos números naturais: indico com F(a,r,m). Assim, por > exemplo, F(1,1,m)=m! . Não é difícil demonstrar, tomando por base > um histórico teorema sobre a existência de números primos em > intervalos fixos, que m! não é potência de de qualquer número natural. > Há demonstração análoga para o caso geral F(a,r,m)?
Acho que aqui m > 2 se impõe como hipótese razoável. O caso m = 3 deve ser razoavelmente fácil de decidir: Chame a sua PA de b-r, b, b+r ; temos b(b^2 - r^2) que queremos mostrar que não é potência de um inteiro. Mas se tivermos um terno pitagórico (x,r,b) com b = h^2 não dá certo. Ora, (3,4,5) é um terno pitagórico; multiplique por 5 para ter um quadrado, b = 25, r = 20, você tem 5 * 25 * 45 = 5 * 25 * 9 * 5 que é um quadrado perfeito. Bom, sei lá, parece meio forçado. Talvez seja factível demonstrar que essa questão só tem soluções derivadas de ternas pitagóricas, mas deve ser mais difícil... > 2) Um polígono articulado plano é um polígono plano cujos lados têm > comprimento dado e cujos ângulos internos são variáveis. > Fornecidos os lados de um tal polígono, é fácil determinar, a priori, > sua área máxima, e se sua área se anula. Se, contudo, esta não se > anula, como determinar a área mínima desse polígono articulado? A área se anula sse existe uma partição dos lados com a mesma soma, é isso? Eu acho que tentar fazer o caso de um quadrilátero já deve ser bem interessante... veja só: se eu tenho lados a,b,c,d, eu posso tentar "apertar" o polígono o máximo possível. Suponha que a+b != c+d (senão, eu posso alinhar todos os pontos), e sem perda de generalidade, a+b > c+d. Assim, você pode "entrar" com os lados c e d e formar um polígono côncavo, que parece ser uma boa idéia para diminuir a área. O outro caso seria o triângulo degenerado com um lado c+d e depois os lados a e b. Pensando um pouco mais, você pode escolher dois lados e fazê-los coincidir, e se a diferença "der certo", você tem um triangulozinho formado pelos outros dois lados e a diferença dos outros. Talvez sempre dê pra fazer um triângulo desses, mas eu não fiz as contas de desigualdade triangular com os 4 lados... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
