Olá, Samuel,
Se t != 0, temos:
h(t) = f(tx) = |tx| . g(tx/|tx|)
Para t>0, temos:
|tx| = t|x| => h(t) = f(tx) = t|x| . g(x/|x|)
Para t<0, temos:
|tx| = -t|x| => h(t) = f(tx) = -t|x| . g(-x/|x|) = t|x| . g(x/|x|)
Assim:
h(t) = t|x| . g(x/|x|) para t != 0.
Para t != 0, temos:
h'(t) = lim{k->0} [ h(t+k) - h(t) ] / k = lim{k->0} [ (t+k)|x| . g(x/|x|) -
t|x| . g(x/|x|) ] / k = lim{k->0} |x|.g(x/|x|) = |x|.g(x/|x|)
Desta maneira, para t!=0, temos que a derivada de h é constante e tem valor
|x|.g(x/|x|).
Abraços,
Salhab
2011/3/7 Samuel Wainer <sswai...@hotmail.com>
> Seja g uma função conínua sobre o círculo unitário {x em R^2: |x| = 1} tal
> que g(0,1) = g(1,0) = 0 e g(-x) = -g(x). Defina f: R^2 -> R por:
>
>
> f(x) = |x| . g(x\|x|) para x diferente de 0
> 0 para x = 0
>
> Se x pertence à R^2 e h: R -> R é definida por h(t) = f(tx), mostrar que h
> é diferenciável.
>
>
> consegui fazer para caso t=0, usando que f(x) = 0 direto da definição, mas
> mostrar que lim ((h(t+l)-h(t))/l) existe para t quaquer não foi
> trivial. Alguém consegue me dar um
> socorro?
> (l -> 0)
>
