De fato, como |f(x)| <= |x|^2, então, |f(0)| <= 0 e, portanto, f(0) = 0.
Para todo u <>0 de R^n e todo real t <>0, temos que |f(0 + tu) - f(0)|/t =
|f(tu)|/t <= t^2 |u|/t = t |u|. Logo, fazendo t --> 0, obtemos que lim ( t -->
0) (f(0 + tu)- f(0))/t = D_u(0) = 0, sendo D_u(0) a derivada direcional em a na
direção u. Assim, todas as derivadas direcionais - logo as parciais - de f
existem em 0.
e são nulas;
Para todo x <>0 de R^n, temos que |f(x)|/|x| <= |x|^2/|x| = |x|, de modo que
lim (x --> 0) |f(x)|/|x| = 0 e que, portanto |f(x)| = o(|x|). Como f(x) =
f(0) + 0.x + f(x) = f(0) + 0 . x + 0(|x|), concluímos que f é derivável em 0 e
que sua derivada é a função (linear) identicamente nula. Isto é, D(0) (x) = (0,
0) . x. Aqui, . designa produto escalar.
Abraços
Artur
From: sswai...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] derivada
Date: Mon, 7 Mar 2011 21:14:30 +0000
Seja f:R^n -> R uma função tal que |f(x)| <= |x|^2. Mostre que f é
diferenciável em 0.
Pelo que tentei fazer devo ter f(0) = 0.
lim{k->0} [(f(0+k)-f(0)-Bk)/(|k|)] deve ser zero para alguma matriz linha da
forma : B = (D1f(0) D2f(0) ... Dnf(0))
mas não consigo ver onde usar que |f(x)| <= |x|^2
Alguém poderia me dar um help?
Obrigado
