Esses 5 times, jogam (5x4/2 = 10) jogos, e o máximo número de pontos a ganhar é
10x3 = 30 no total.
O quinto colocado consegue o maior número de pontos quando os 5 times obtém o
mesmo número de pontos 30/5 = 6. Porque se algum consegue mais de 6 pontos,
então algum vai conseguir menos de 6, ou seja com certeza o quinto colocado
teria menos de 6. Por isso o máximo número de pontos do quinto colocado é 6.
Se o quinto colocado consegue mais de 6, então já no é quinto (hehe).
Será que me falta rigor na demonstração?
Obrigado
Julio Saldaña
------ Mensaje original -------
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Fri, 1 Apr 2011 10:45:38 +0000
Asunto : RE: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Caro Júlio César Saldaña,
Muito obrigado pela resolução. Tenho ainda uma dúvida. É quanto ao trecho
abaixo:
\" ... o máximo número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso
que todos os 5
ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6.\"
Um abraço do Paulo Argolo.
----------------------------------------
From: saldana...@pucp.edu.pe
To: obm-l@mat.puc-rio.br
CC:
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Problema de futebol
Date: Thu, 31 Mar 2011 09:31:00 -0500
Favor analisar esta solução:
Para saber qual é o mínimo número de pontos necessário para ficar nos quatro
primeiros, investiguemos qual é o máximo número de pontos que pode ter o quinto
colocado.
Para chegar nessa situação, suponhamos que os 5 primeiros colocados ganharam
todos os jogos contra os outros 7. Então tem pelo menos 21 pontos cada.
Faltam distribuir os pontos disputados no 10 jogos que esse 5 jogaram entre
eles. O máximo número de pontos a ser distribuídos é 3x10 = 30, assim, o máximo
número de pontos que pode ter ganho o quinto colocado é (no caso que todos os 5
ganharam o mesmo número de pontos) 30/5 =6. Isto corresponde a cada um ter ganho
2 jogos dos 10 disputados, o qual é perfeitamente possível.
Nesse caso os cinco primeiros colocados tem 21+6=27. Ou seja ter 27 pontos, não
garante ficar nos 4 primeiros (pode ficar quinto), e além de mais o máximo
número de pontos do quinto colocado é 27. Portanto o mínimo número de pontos que
garantem ficar nos 4 primeiros é 28.
Rpta: 28
Me avisem se tem algo errado o falta justificar algum passo com maior rigor.
Obrigado
Julio Saldaña
------ Mensaje original -------
De : obm-l@mat.puc-rio.br
Para : obm-l@mat.puc-rio.br
Fecha : Wed, 30 Mar 2011 22:17:44 +0000
Asunto : [obm-l] Problema de futebol
>
>Caríssimos colegas,
>
>
>Gostaria de obter, se possível for, uma resolução da questão abaixo:
>
>QUESTÃO:
>
>Um torneio de futebol é disputado por 12 times.Na primeira fase,cada time
enfrenta os demais uma única vez e obtém 1 ponto quando empata e 3 pontos quando
vence. A segunda fase do torneio será disputada somente pelos 4 times que
obtiverem mais pontos na primeira fase havendo necessidade, será adotado algum
critério de desempate (saldo de gols, por exemplo) para definir quais serão
esses 4 times.
>Qual é o número mínimo de pontos que garante a um time sua classificação para a
segunda fase, independentemente do critério de desempate que seja adotado?
>
>Abraços!
>Paulo Argolo
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