2011/10/13 Luan Gabriel <luan_gabrie...@hotmail.com>: > Sem querer ser chato,mas ainda > sobrou mais uma questão desse tipo,mas não consegui resolver: > > Prove que se P(x) tem coeficientes inteiros, então P(x^4).P(x^3).P(X^2).P(x) > +1 não possui raízes inteiras.
Bom, tentando resolver Q(x) = 0, você chega a P(x^4) P(x^3) P(x^2) P(x) = -1 Como você tem um produto de inteiros que dá -1, você precisa que todos eles sejam 1 ou -1. E, inclusive, um número ímpar de -1. Essa simples observação mostra que x != 0, 1 e -1, porque teríamos o produto de dois quadrados (>= 0) à esquerda. Bom, a idéia é tentar achar uma contradição, por exemplo achando um dos caras de módulo maior do que 1. Eu consegui assim: P(x^2) - P(x) = Soma a_n (x^2n - x^n) = Soma a_n x^n (x^n - 1) = (x-1) * Soma a_n x^n (x^(n-1) + ... + x + 1) Como x é diferente de 1, temos duas possibilidades: P(x) = P(x^2), e daí a Soma = 0. P(x) = -P(x^2) e daí temos (x-1) * Soma = +- 2. Repare que esse mesmo argumento serve para P(x^3) - P(x) e P(x^4) - P(x), sendo que o fator que sobra passa a ser x^2 - 1 => porque x^(3n) - x^n = x^n (x^(2n) - 1) = x^n (x^2 - 1)(x^(2n - 2) + ... + x^2 + 1) x^3 - 1 => porque x^(4n) - x^n = x^n (x^(3n) - 1) = x^n (x^3 - 1)(x^(3n - 3) + ... + x^3 + 1) Agora, repare que como x != 0, 1 e -1, os fatores x^2 - 1 e x^3 - 1 são maiores do que 2. Assim, não podemos ter P(x) = -P(x^3) nem P(x) = -P(x^4). Senão, a diferença seria 2 ou -2, mas seria também divisível por x^2 - 1 ou x^3 - 1 que são maiores do que 2. Portanto, P(x) = P(x^3) = P(x^4). Mas agora faça a mesma coisa para P(x^4) - P(x^2). Dá a mesma coisa que P(x^2) - P(x), com x trocado por x^2. Portanto, essa diferença também é divisível por x^2 - 1. Que continua sendo maior do que 2. O que quer dizer que P(x^2) = P(x^4). Mas daí temos o produto de 4 fatores iguais, isso não dá um número negativo. Ufa! Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
