Tome o polinomioQ(y)= P(1/x) fazendo y=1/x, temos: Q(y)=a(n) + a(n-1)y + ...+ a(3)y^(n-3) + y^(n-2) + y^(n-1) + y^n sendo r1, r2, ..., rn as raizes de Q(y) (com repetição). note que se R1, R2,..., Rn são as raizes de P(x), Ri=1/ri (note que an é diferente de zero, então Q não possui raiz nula) Então: r1+r2+...+rn=-1; (soma sobre i>j)(ri*rj)=1; então (r1)²+(r2)²+...+(rn)²=(r1+r2+...+rn)²-2*(soma sobre i>j)(ri*rj)= -1 - 2*1=-3. Então não podemos ter todas as raízes reais.
Em 25 de setembro de 2013 12:51, marcone augusto araújo borges < marconeborge...@hotmail.com> escreveu: > As expressões entre parêntesis na penúltima linha não são ambas iguais a 1? > E por que ´´para n par...´´? > > > > > ------------------------------ > From: joao_maldona...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] RE: [obm-l] Polinômios > Date: Tue, 24 Sep 2013 23:00:14 -0300 > > > Sendo cp = 1/ap > a1a2...an = +-1/an > a1a2...an(1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -+1/an > a1a2...an(1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) = +-1/an > > Logo: (1/a1 + 1/a2+...+1/an) = -1 > (1/a1a2 + 1/a1a3 +... +1/an-1an) =1 > x=c1+c2+ ... +cn = -1 > y=c1c2+c1c3+...+cn-1cn = 1 > > c1²+c2² +... +cn² = (c1+c2+ ... +cn)² -2(c1c2+c1c3+...+cn-1cn) = -1, > absurdo, logo para n par temos que pelo menos 2 raízes são complexas > > []'s > João > > > ------------------------------ > From: marconeborge...@hotmail.com > To: obm-l@mat.puc-rio.br > Subject: [obm-l] Polinômios > Date: Wed, 25 Sep 2013 01:00:58 +0000 > > Prove que um polinômio do tipo a(n)x^n + a(n-1)x^(n-1) + ...+ a(3)x^3 + > x^2 + x + 1 com > coeficientes reais não pode ter todas as raízes reais. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > -- Esdras Muniz Mota Graduando em Matemática Bacharelado Universidade Federal do Ceará -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo.
