Vou fazer mais que isto: quantos coeficientes ímpares aparecem em (1+x)^n?
Aqui, trataremos apenas de polinômios de coeficientes naturais. Temos (1+x)^2 = 1 +2x+x^2 =1+x^2+2p(x), em que p é um polinômio qualquer. Novamente, (1+x)^4=(1+x^2+2p(x))^2 = (1+x^2)^2+2p(x), em que p é um polinômio qualquer. Assim, (1+x)^4=1+x^4+2p(x). Por uma indução fácil, (1+x)^(2^n)=1+x^(2^n)+2p(x) em que p é um polinômio qualquer. Provamos então o que o Ralph disse. Mas vamos além, como prometi. Se n=2^a+2^b, temos (1+x)^(2^a)*(1+x)^(2^b) = (1+x^A+2M)(1+x^B+2N)=(1+x^A+x^B+x^AB+2P). Por indução, o tanto de coeficientes ímpares será justamente o tanto de 1s na representação binária de n. Em 18 de janeiro de 2012 22:53, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: > Pense no triangulo de Pascal modulo 2, isto eh, soh marcando pares (0) e > impares (1): > > 1 > 11 > 101 > 1111 > 10001 > 110011 > 1010101 > 11111111 > > ... > > Etc. Ha varios padroes a serem explorados ali, varias repeticoes de > triangulos anteriores, que podem ser demonstradas por inducao, por exemplo. > Em particular, voce soh pode ter 1111...1 na linha n se tiver 10000....001 > na linha n+1. Entao voce pode tentar mostrar que 10000...0001 ocorre sse na > linha n=2^s. > > Ajuda? > > Abraco, > Ralph > > 2012/1/18 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com>: >> Seja n um inteiro positivo.Demonstrar que todos os coeficientes do >> desenvolvimento do binomio de Newton (a+b)^n sao impares se,e somente se,n >> é da forma 2^s - 1. >> Agradeço a quem puder ajudar -- /**************************************/ 神が祝福 Torres ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
