Olá Marcone,
Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por
isso pedi para ficar atento a algum erro Mas pelo que estou vendo não tem erro
algum
Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo
Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar <= `à
quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos
1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é
inteiro, mas w < k, absurdo
[]'s
João
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Como provar?
Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 +0000
Desculpe.Eu não entendi o item b.
Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200
Subject: Re: [obm-l] Como provar?
From: lucas.colucci.so...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja
t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do
numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o
denominador par, então a soma não pode ser inteira.
Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira,
1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=>
S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))=
(1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a
maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente.
Lucas Colucci
2012/1/19 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha),
agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela
Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira
Primeiramente vamos provar que
LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é
racional não inteiro se mdc(b, n) = 1
sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc
(Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro
Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema
acima temos temos
1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é
inteiro, mas w < k, absurdo
Se isso estiver certo o caso 2 é análogo
[]'s
João
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Como provar?
Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 +0000
Prove q os numeros
a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n
b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1)
nao sao inteiros
Agradeço desde ja
