Olá, Marcone
Vou tentar explicar por partes (e mudar um pouco a solução)
Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteiraPrimeiramente
vamos provar que
LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam
inteiras, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) =1
sem problema até aqui
sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc
(Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro
Q = Pb - a, se P fosse inteiro, Q seria inteiro, mas se Q fosse inteiro,
mdc(Pb-a, b) = mdc(a, b) = 1, logo Q/b seria uma fração irredutíiveel
Agora pense comigo, se m/n e Q/b são duas frações e irredutíveis, m=Q e n = b,
mas mdc(b, n) = 1 absurdo
LEMA 2) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam
inteiras, e sendo b>n, sua soma é racional não inteiro se mdc(b, n) != n
sendo W mdc(b, n), sendo X = b/W e Y = n/W temos que a/b + m/n = 1/W(a/X +
m/Y), mas a/X e m/Y são duas duas frações irredutíveis, sem que as duas sejam
inteiras, e mdc(X, Y) = 1, pelo lema 1 temos que sua soma não é inteira ,
lgo a/b a+m/n não é inteiro
Aí que veio a mudança, para ficar mais fácil de entender
Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema
acima temos temos
1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é
inteiro, mas w < k, absurdo
Sendo s o maior primo, temos que, tirando da soma (1/1 + 1/2 +... + 1/k) as
frações em que aparecem os múltiplos de s, chamaremos esta soma de x, e a soma
das frações com os múltiplos de s de y
Sendo x = c/d e y = e/f (irredutíveis), é óbvio que d não é múltiplo de s e f
é múltiplo de s, logo se as duas não são inteiras mdc(d, f) != f ou d e pelo
Lema 2 a sua soma SERÁ não inteira. Se as duas fossem inteiras, teriamos um
absurdo, pois y = 1/s + 1/2s + 1/3s +... +1/ws = 1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) ,
e (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é inteiro, mas w < k, absurdo
[]'sJoão
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Como provar?
Date: Sun, 22 Jan 2012 19:01:02 +0000
Eu entendi a sulução do Lucas para o item a.No mais confesso que fiquei
perdido.
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Como provar?
Date: Sat, 21 Jan 2012 04:28:55 -0200
Olá Marcone,
Quando mandei a solução estava com um pouco de pressa (ia almoçar fora) por
isso pedi para ficar atento a algum erro
Mas pelo que estou vendo não tem erro algum
Para o segundo caso você pode fazer o mesmo processo
Sendo s o maior primo até k, sendo w o maior inteiro inteiro ímpar <= `à
quantidade de múltiplos de s até k pelo lema acima temos temos
1/s (1/1 + 1/3 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 +... + 1/w) é
inteiro, mas w < k, absurdo
[]'s
João
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: RE: [obm-l] Como provar?
Date: Fri, 20 Jan 2012 22:03:54 +0000
Desculpe.Eu não entendi o item b.
Date: Thu, 19 Jan 2012 01:31:07 -0200
Subject: Re: [obm-l] Como provar?
From: lucas.colucci.so...@gmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Pra a), considere a maior potência de 2 menor que n, digamos, 2^m, e seja
t=mmc(1,2,...,n). Escrevendo essa soma com denominador l, todas as parcelas do
numerador, exceto uma (a do 1/2^m) são pares. Assim, o numerador é ímpar e o
denominador par, então a soma não pode ser inteira.
Pra b), se a soma S=1+1/3+...+1/(2n+1) fosse inteira,
1+1/2+...+1/(2n+2)=1/2(1+1/2+...+1/n)+(1+1/3+...+1/(2n+1)) <=>
S=1/2(1+...+1/n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2))=
(1/2+1/4+...+1/2n)+(1/(n+1)+...+1/(2n+2)), o que é um absurdo considerando a
maior potência de 2 que aparece nos denominadores, novamente.
Lucas Colucci
2012/1/19 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
Eu acho que achei uma solução (não tenho certeza se tem alguma falha),
agradeceria se alguém corrigisse qualquer tipo de erro nela
Seja k o menor natural (maior que 1) para que a soma é inteira
Primeiramente vamos provar que
LEMA 1) Sendo a/b m/n duas frações irredutíveis não inteiras, sua soma é
racional não inteiro se mdc(b, n) = 1
sendo a/b + m/n = P, m/n = P-a/b = (Pb-a)/b = Q/b, se Q fosse inteiro, mdc
(Q, b) seria 1 e b = n, absurdo, logo Q não é inteiro
Sendo s o maior primo até k, sendo w a quantidade de múltiplos de s pelo lema
acima temos temos
1/s (1/1 + 1/2 +...+1/w) é inteiro -> (1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 +... + 1/w) é
inteiro, mas w < k, absurdo
Se isso estiver certo o caso 2 é análogo
[]'s
João
From: marconeborge...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Como provar?
Date: Thu, 19 Jan 2012 00:13:53 +0000
Prove q os numeros
a) 1+ 1/2 + 1/3 + ... 1/n
b) 1/3 + 1/5 + ...1/(2n+1)
nao sao inteiros
Agradeço desde ja
