2012/3/28 Albert Bouskela <alb...@themag.com.br>: Ois! Antes de mais nada, parabéns ao Albert por ter matado o problema. Enfim, "a sacada de gênio", claro, porque se eu estou escrevendo um mail a mais, é que eu ainda não estou satisfeito... mas é pura chatice minha. Coisas da idade.
> 3) Mantendo-se invariante o número de vértices, o polígono > inscrito num círculo que tem (refiro-me ao polígono) o maior perímetro é o > polígono regular! > > 4) Prova: – Peguem 3 pontos consecutivos (adjacentes) de um > polígono. O 1º e o 3º formam a corda que nos interessa. Os 3 pontos formam > um triângulo. Para que o perímetro desse triângulo seja máximo, ele deve ser > isósceles (prova adiante). I.e., o 2º ponto deve coincidir com a interseção > da maior flecha da corda formada pelos 1º e 3º pontos – i.e., a mediatriz da > corda – com o círculo. Por quê? Eu não diria que é o perímetro do triângulo, mas apenas AB + BC (onde A, B e C são, nessa ordem, os pontos consecutivos). Claro que como apenas B "mexe", somar AC é uma constante, logo não muda nada. Mas o importante ainda está por vir. > 5) Porque quando o ponto do meio (o 2º) passeia ao longo do > arco compreendido pela corda, a partir do ponto central (o ponto de > interseção da mediatriz da corda com o círculo), o perímetro do triângulo > diminui! Caso não diminuísse (ficasse constante), Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar. > o LG do 2º ponto seria uma > elipse, com polos no 1º e 3º pontos – lembrem-se da definição da elipse (é o > LG dos pontos cuja soma das distâncias do ponto considerado até dois pontos > fixos, os polos, é invariante). Esta elipse passaria “por fora” do círculo, > tangenciando-o no ponto de interseção da mediatriz da corda com o círculo. Mas o argumento da elipse ainda assim é válido. Mas tem que dar uns detalhes a mais: considere a elipse de focos A e C passando por B. Como B está na mediatriz de AC, a elipse é tangente ao círculo em B. As posições de uma elipse e um círculo são bem simples: é uma questão de curvatura. Ora, a elipse com certeza passa fora do círculo na "altura" da reta AC, logo ela também tem que estar do lado de fora acima, logo a semi-elipse A'BC' contém o arco ABC. Como os pontos dentro da elipse são os que têm a soma MENOR do que AB+BC, acabou. > 6) Já que o triângulo deve ser isósceles, então o polígono > deve ser regular! Muita calma nessa hora. Seja P um polígono que não é regular. Seja P' o polígono obtido de P "isoscelizando" dois lados contíguos como o Albert fez. Então per(P) < per(P'). Em particular, se P for regular, o procedimento do Albert não permite aumentar o comprimento, mas é só isso. Claro que se você tomar outro polígono (que não seja regular, portanto) ele não será o de maior perímetro, mas isso não implica que o regular seja o maximizador. Assim, aqui vem a minha chatice maior. Falta um de dois argumentos. Um de convergência (se a gente tiver sorte, para o máximo), o outro de existência do dito máximo. A existência é um treco chato, e eu não sei provar sem análise/topologia. O máximo existe porque o comprimento de um polígono é uma função contínua dos ângulos dos vértices do mesmo, que vivem num conjunto compacto (o círculo) e são em número finito. Sabendo da existência, acabou: seja P o polígono que é de maior perímetro. A construção do Bouskela diz que P tem que ser regular, já que, se não fosse, seria possível aumentar o seu perímetro. A convergência é mais "natural". O que a gente precisa mostrar é o seguinte: seja P um polígono não regular. Então a construção do Bouskela dá uma seqüência de polígonos P_i que convergem para um polígono regular, e portanto para qualquer polígono P, o seu perímetro é menor do que o perímetro do polígono regular. A idéia aqui é ir "rodando", e daí a "discrepância" vai diminuir. Vou fazer com 3 lados, já dá bastante trabalho assim. Sejam a, b e c os ângulos entre os pontos A e B, B e C, C e A vistos do centro do círculo. Como a gente quer que convirja para um triângulo equilátero, eu vou chamar de 120+a, 120+b, 120+c. Repare que a + b + c = 0 porque o triângulo é convexo ;). A primeira etapa "isosceliza" em B, portanto temos 120 + (a+b)/2, 120 + (a+b)/2, 120 + c Agora em C 120 + (a+b)/2, 120 + (a+b+2c)/4, 120 + (a+b+2c)/4 = 120 + (a+b)/2, 120 + c/4, 120 + c/4 (pois a+b+c = 0) Enfim, em A 120 + (2a+2b+c)/8, 120 + c/4, 120 + (2a+2b+c)/4 = 120 + (a+b)/8, 120 + c/4, 120 + (a+b)/8 Agora, note que |(a+b)/8| + |c/4| + |(a+b)/8| <= ( |a| + |b| + |c| )/4 (porque |x+y| <= |x| + |y[), ou seja, os valores a, b, c dão uma "discrepância total" que divide por 4 quando a gente dá a volta no círculo. Assim, fazendo cada vez mais voltas, temos um polígono cujo perímetro sempre aumenta, e cujo perímetro converge para o de um polígono regular, que tem portanto um perímetro maior do que todos os outros. A fórmula do caso geral é beeeem mais lenta (de convergir e de calcular) e eu acho que dá um fator (1 - 6/2^n) Claro que a maior parte dos alunos de 2° grau não vão ser uns chatos de 2a categoria como eu... Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================