Olá a todos! Alguns comentários remanescentes:
A introdução... Por diletantismo, quis demonstrar (ou apenas mostrar, vá lá...) que, quando aumentamos o número de lados de um polígono regular, inscrito num círculo invariante, o perímetro também aumenta. Quis, ainda, que essa demonstração se valesse apenas de conceitos geométricos básicos, como se eu estivesse desenhando numa folha de papel. Sendo assim... 1) Ao caríssimo Nehab: Acho que o item "5" fica mais bem demonstrado através do desenho (do desenho!) da elipse, feito toscamente a partir da definição desta cônica. Isto para dispensar a trigonometria. 2) Ao caríssimo Bernardo: First of all, não reclame da sua idade, acho que sou mais velho do que você! Seu 1º comentário é: "Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar". É claro que eu estava interessado apenas em demonstrar que o perímetro do triângulo diminuía. Daí, mostrei que, para que o perímetro ficasse constante, o ponto do meio deveria passear por uma elipse e, portanto, passear por fora do círculo. Para que o perímetro aumentasse, o passeio desse ponto deveria ser por fora da elipse, além, muito além daquela serra, que ainda azula no horizonte... (Ops! Muito além do círculo!). Aqui, acho que você quis ser ranzinza. Mas o seu comentário mais agudo refere-se à convergência do processo de tornar isósceles (no vértice N+1) os triângulos formados pelos vértices N, N+1 e N+2. Repare, entretanto, que esse processo é desnecessário. I.e., não é necessário demonstrar que quando transformamos um polígono irregular num regular, maximizamos o seu perímetro. O item "5" afirma a mesma coisa, mas vista ao contrário: Quando transformamos um polígono regular num irregular, seu perímetro diminui, porque os triângulos (N, N+1, N+2) deixam de ser isósceles. Explico-me: Considere um polígono regular. Vamos mexer em um de seus vértices o ponto X (aqui tem um gatinho mato-o depois). O perímetro vai diminuir, porque o triângulo (X-1, X, X+1) deixou de ser isósceles. Para que o perímetro volte à sua condição original (aumente), temos que mexer no ponto X+1, para tornar isósceles o triângulo (X, X+1, X+2). Mas, aí, o triângulo (X+1, X+2, X+3) deixa de ser isósceles e o perímetro ainda não voltou à condição original. Daí, temos que mexer no ponto X+2. E assim sucessivamente... A ideia, contudo, NÃO é demonstrar que esse processo converge para a restituição do polígono regular, fazendo apenas uma rotação do mesmo. A ideia é mostrar (não demonstrar!) que não se pode mexer no polígono regular sem que ele, coitado, perca um pedaço do seu perímetro. O gatinho é o seguinte: Podemos mexer em mais de um vértice! Mas este é um gato natimorto, no máximo, o gato de Schrödinger! Abraços, Albert Bouskela bousk...@gmail.com > -----Mensagem original----- > De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em > nome de Carlos Nehab > Enviada em: 28 de março de 2012 20:26 > Para: obm-l@mat.puc-rio.br > Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] > Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] heptágono regular > > Bouskela e Bernardo, > > Sem entrar no mérito do argumento como um todo, o item 5 pode ser > desenvolvido de forma mais simples, não exigindo a elipse: > Sendo O é o centro do circulo´e os vértices consecutivos A, B e C, façamos: > <AOC = alfa (fixo), > <AOB = beta e > <BOC = gama, > O comprimento AB + BC é dado por > 2Rsen(beta/2) + 2Rsen(gama/2) = 4Rsen(alfa/4).cos(beta/4-gama/4) que é > máximo quando cos = 1 ou seja, beta = gama. > > Quanto à preocupação do Bernardo com a justificável precisão de > convergência, etc, quem trabalha com meninos do nivel médio (como eu, em > turmas de preparação ao IME/ITA) tem "dúzias" de preocupações > assemelhadas e até em assuntos aparentemente óbvios. > Por exemplo: prove que a área de um retângulo é igual ao produto dos lados. > Acha fácil? > Não é não, pois se os lados do retângulo são múltiplos racionais do lado do > quadrado que serve de unidade de medida, tudo bem, mas se não forem, olha > a confusão! > Tem que falar em aproximação de irracionais por racionais ou coisa análoga > ou ficar de boca fechada e tocar o bonde ou, se a turma for melhorzinha (tipo > IME/ITA, etc) ai tá, damos uma pincelada na questão... > E na primeira série? Soma das PGs ilimitadas são apresentadas sem nenhuma > formalização do conceito de limite, etc e pronto; E dízimas para as pobres > "criancinhas"... tantos noves ... tantos zeros quanto.... ! Aggggghhhhh. Sempre > achei equivalente a assassinato o estudo de dízimas na época em que é feito. > E por ai vai. > > Abraços > Nehab > > PS: Acho que me excedi... e me empolguei. Faz parte. > > > Em 28/03/2012 18:09, Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: > > 2012/3/28 Albert Bouskela<alb...@themag.com.br>: > > Ois! > > > > Antes de mais nada, parabéns ao Albert por ter matado o problema. > > Enfim, "a sacada de gênio", claro, porque se eu estou escrevendo um > > mail a mais, é que eu ainda não estou satisfeito... mas é pura chatice > > minha. Coisas da idade. > > > >> 3) Mantendo-se invariante o número de vértices, o polígono > >> inscrito num círculo que tem (refiro-me ao polígono) o maior > >> perímetro é o polígono regular! > >> > >> 4) Prova: Peguem 3 pontos consecutivos (adjacentes) de um > >> polígono. O 1º e o 3º formam a corda que nos interessa. Os 3 pontos > >> formam um triângulo. Para que o perímetro desse triângulo seja > >> máximo, ele deve ser isósceles (prova adiante). I.e., o 2º ponto deve > >> coincidir com a interseção da maior flecha da corda formada pelos 1º > >> e 3º pontos i.e., a mediatriz da corda com o círculo. Por quê? > > Eu não diria que é o perímetro do triângulo, mas apenas AB + BC (onde > > A, B e C são, nessa ordem, os pontos consecutivos). Claro que como > > apenas B "mexe", somar AC é uma constante, logo não muda nada. Mas o > > importante ainda está por vir. > > > >> 5) Porque quando o ponto do meio (o 2º) passeia ao longo do > >> arco compreendido pela corda, a partir do ponto central (o ponto de > >> interseção da mediatriz da corda com o círculo), o perímetro do > >> triângulo diminui! Caso não diminuísse (ficasse constante), > > Na minha terra, uma quantidade que não diminui, pode aumentar. > > > >> o LG do 2º ponto seria uma > >> elipse, com polos no 1º e 3º pontos lembrem-se da definição da > >> elipse (é o LG dos pontos cuja soma das distâncias do ponto > >> considerado até dois pontos fixos, os polos, é invariante). Esta > >> elipse passaria por fora do círculo, tangenciando-o no ponto de > interseção da mediatriz da corda com o círculo. > > Mas o argumento da elipse ainda assim é válido. Mas tem que dar uns > > detalhes a mais: considere a elipse de focos A e C passando por B. > > Como B está na mediatriz de AC, a elipse é tangente ao círculo em B. > > As posições de uma elipse e um círculo são bem simples: é uma questão > > de curvatura. Ora, a elipse com certeza passa fora do círculo na > > "altura" da reta AC, logo ela também tem que estar do lado de fora > > acima, logo a semi-elipse A'BC' contém o arco ABC. Como os pontos > > dentro da elipse são os que têm a soma MENOR do que AB+BC, acabou. > > > >> 6) Já que o triângulo deve ser isósceles, então o polígono > >> deve ser regular! > > Muita calma nessa hora. Seja P um polígono que não é regular. Seja P' > > o polígono obtido de P "isoscelizando" dois lados contíguos como o > > Albert fez. Então per(P)< per(P'). Em particular, se P for regular, o > > procedimento do Albert não permite aumentar o comprimento, mas é só > > isso. Claro que se você tomar outro polígono (que não seja regular, > > portanto) ele não será o de maior perímetro, mas isso não implica que > > o regular seja o maximizador. > > > > Assim, aqui vem a minha chatice maior. Falta um de dois argumentos. Um > > de convergência (se a gente tiver sorte, para o máximo), o outro de > > existência do dito máximo. > > > > A existência é um treco chato, e eu não sei provar sem > > análise/topologia. O máximo existe porque o comprimento de um polígono > > é uma função contínua dos ângulos dos vértices do mesmo, que vivem num > > conjunto compacto (o círculo) e são em número finito. Sabendo da > > existência, acabou: seja P o polígono que é de maior perímetro. A > > construção do Bouskela diz que P tem que ser regular, já que, se não > > fosse, seria possível aumentar o seu perímetro. > > > > A convergência é mais "natural". O que a gente precisa mostrar é o > > seguinte: seja P um polígono não regular. Então a construção do > > Bouskela dá uma seqüência de polígonos P_i que convergem para um > > polígono regular, e portanto para qualquer polígono P, o seu perímetro > > é menor do que o perímetro do polígono regular. A idéia aqui é ir > > "rodando", e daí a "discrepância" vai diminuir. Vou fazer com 3 lados, > > já dá bastante trabalho assim. > > > > Sejam a, b e c os ângulos entre os pontos A e B, B e C, C e A vistos > > do centro do círculo. Como a gente quer que convirja para um triângulo > > equilátero, eu vou chamar de 120+a, 120+b, 120+c. Repare que a + b + c > > = 0 porque o triângulo é convexo ;). > > > > A primeira etapa "isosceliza" em B, portanto temos > > 120 + (a+b)/2, 120 + (a+b)/2, 120 + c > > Agora em C > > 120 + (a+b)/2, 120 + (a+b+2c)/4, 120 + (a+b+2c)/4 > > = 120 + (a+b)/2, 120 + c/4, 120 + c/4 (pois a+b+c = 0) Enfim, em > > A > > 120 + (2a+2b+c)/8, 120 + c/4, 120 + (2a+2b+c)/4 > > = 120 + (a+b)/8, 120 + c/4, 120 + (a+b)/8 > > > > Agora, note que |(a+b)/8| + |c/4| + |(a+b)/8|<= ( |a| + |b| + |c| )/4 > > (porque |x+y|<= |x| + |y[), ou seja, os valores a, b, c dão uma > > "discrepância total" que divide por 4 quando a gente dá a volta no > > círculo. Assim, fazendo cada vez mais voltas, temos um polígono cujo > > perímetro sempre aumenta, e cujo perímetro converge para o de um > > polígono regular, que tem portanto um perímetro maior do que todos os > > outros. A fórmula do caso geral é beeeem mais lenta (de convergir e de > > calcular) e eu acho que dá um fator (1 - 6/2^n) > > > > > > Claro que a maior parte dos alunos de 2° grau não vão ser uns chatos > > de 2a categoria como eu... > > > > Abraços, > > ================================================================ > ========= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ================================================================ > ========= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =========================================================================
