Oi Marcelo
Fiz umas tentativas sem sucesso, mas encontrei uma solução pratica.
1-Fiz uma matriz de 20x20 com todos os produtos possíveis dos pares
Aij=(i,j). E preenchi com os produtos Pij=ij.
2- Na diagonal principal os Pii como 1,4,9,16 etc. O número 1 (um)
correspondendo ao par (1,1). E de cada lado da diagonal os Pij=Pji.
3- Eliminando a diagonal principal e a parte superior da matriz, restam
(400-20)/2=190 números, sendo o maior deles 20.(20-1)=380.
4- Esses 190 números compreendem aos números pedidos no problema com
redundâncias, que devem ser abatidas. Em certos casos há mais do que uma
repetição.
5 - Alguns primos não originam nenhuma duplicação. Como 19, 17, 13 e 11.
Eles não fazem parte da composição dos números compostos da lista original.
E seu menor múltiplo é maior do que 20. A contribuição de 7 é de somente
uma ocorrência o 14 que se encontra também no par (7,2).
6- Fica relativamente fácil encontrar as duplicações e as vezes
triplicatas, adotando o seguinte critério: percorrer as colunas da esquerda
para direita, selecionando as repetições que forem sendo identificadas no
processo.
7 – Encontrei 46 repetições, espero não ter errado na contagem.
O número pedido seria 190-(220-46)=124.
Abraços
Fernando A Candeias
Em 4 de abril de 2012 22:16, Marcelo Salhab Brogliato
<msbro...@gmail.com>escreveu:
> Opz! Só corrigindo: 380 - sum{p_i \in P} [380/p_i] = 183. Logo, são 44
> números que tem o problema do 5^3, 2*5^3, 3*5^3...
>
> Abraços,
> Salhab
>
>
> 2012/4/4 Marcelo Salhab Brogliato <msbro...@gmail.com>
>
>> Olá, Nehab, quanto tempo!!
>>
>> Bom, vou tentar.. mas estou sem muitas idéias! =]
>>
>> Python:
>> >>> len(set([ i*j for i in range(1, 21) for j in range(1, 21) if i != j
>> ]))
>> 139
>> Rsrs.. brincadeira! E não me precisa me sacanear, pra 10! ficará bastante
>> lento, rs =]
>>
>> Seja A_k = { 1k, 2k, ..., (k-1)k, (k+1)k, ..., 20k }.
>> Você quer saber |U_{k=1..20} A_k| = 380 - intersecções.... LOUCURA!
>> hehehe =]
>> Ok, ok.. vou pra terceira tentativa.. (escrever enquanto pensa é bom..
>> fica o histórico)
>>
>> Olhando para os números, só temos o fator primo 5 em: 5, 10, 15, 20.. e
>> em todos esses casos ele tem expoente 1. Isto é, o maior expoente que
>> podemos ter é 2. Logo, 5^3=125 está fora da contagem. Assim como, 2*5^3 =
>> 250, e 3*5^3 = 375. Logo, pensar somente nos primos, não resolve o problema
>> por completo. Mas quanto nós erramos?
>>
>> Bom, o maior valor sempre será (n-1)*n.. neste caso, 19*20 = 380.
>> Seja P = { x | 21 <= x <= 380 e x é primo }. É fácil ver que o produto de
>> quaisquer primos em P sempre será maior que 380. Então, temos que tirar
>> apenas os seus múltiplos. Mas quantos múltiplos temos de cada primo?
>> Simples, [380/p_i] múltiplos. Assim, ficamos com: 380 - sum{p_i \in P}
>> [380/p_i], onde [x] é o piso de x.
>> Fazendo esta conta, ficamos com 197... conforme esperado, é maior que a
>> resposta correta, 139.
>>
>> Próxima tentativa.. :)
>>
>> Ainda tem os "chatos que se repetem". Vejamos: (2*3)*(3*2*2) =
>> (2*2)*(3*3*2)... isto é: 6*12 = 4*18... esses são os chatos que estão me
>> atrapalhando a vida.. rs! Outro chato é: (2*2)*(2*2*2) = 2*(2*2*2*2), isto
>> é: 2 * 16 = 4 * 8.. ah, se eu conseguisse contá-los..
>>
>> Bom, vou tentar mais depois e eu envio..
>> Espero que essa confusão de idéias possa ajudar alguém a resolver o
>> problema, hehe.
>>
>> Abração,
>> Salhab
>>
>>
>>
>>
>>
>>
>> 2012/4/3 Carlos Nehab <carlos.ne...@gmail.com>
>>
>>> Oi, colegas,
>>>
>>> Enfadado, fui fazer o que professor gosta: inventar moda para enfernizar
>>> a vida dos alunos (no bom sentido, é claro...).
>>> É um mesmo exercício em várias versões.
>>> Divirtam-se.
>>>
>>> Versão 1:
>>> Dado o conjunto A { 1, 2, 3,..., 20}, escolha quaisquer dois elementos
>>> distintos deste conjunto e multiplique-os.
>>> Se você fizer isto para todas as situações possíveis, respeitando o fato
>>> de que os números escolhidos não podem ser iguais, quantos resultados
>>> diferentes você obterá?
>>>
>>> Versão 2:
>>> Idem com o conjunto dos inteiros de 1 a 10! (fatorial de 10).
>>>
>>> Versão 3:
>>> Idem com o conjunto A = { 1, 2, 3, ..., n}, n > 1.
>>>
>>> Abraços
>>> Nehab
>>>
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>>> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>>> http://www.mat.puc-rio.br/~**obmlistas/obm-l.html<http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html>
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