1. Bom, a chave eh olhar para os divisores de n. Se n tiver pelo menos 4
divisores positivos (distintos), digamos, 1, p, q=n/p e n, entao n^2 divide
n!. Por que? Oras, n!=1.2.3...n. Nesse produto teriamos os numeros p, q e
n, e este produto jah tem pqn=n^2.
Em suma, para que n! NAO seja divisivel por n^2, n tem que ter no maximo 3
divisores positivos distintos.
a) UM DIVISOR. Seria n=1... mas nao serve, pois 1^2=1 divide 1!=1.
b) DOIS DIVISORES. Entao n seria um numero primo, digamos, n=p primo. Entao
o fator p nao aparece em nenhum dos numeros 1,2, ..., (p-1), e portanto soh
aparece uma vez em p!. Entao p^2 nao divide p!.
c) TRES DIVISORES. Entao n seria o quadrado de um primo, digamos, n=p^2.
Mas, se p>2, teriamos os fatores 1,p,2p,p^2 em n! (pois 1<p<2p<p^2), e
entao seu produto 2p^4=2n^2 dividiria n!. Entao o unico caso que sobra eh
p=2, que SERVE, pois 4^2=16 nao divide 4!=24.
RESPOSTA:
n=p onde p eh primo, ou n=4.
2. Estou sem tempo para fazer o segundo... Mas notei que (x-y)/(1+xy)=1 eh
equivalente a y=f(x)=(x+1)/(1-x)=-1+2/(1-x). Agora, esta funcao f(x) tem
periodo 4, isto eh, f(f(f(f(x))))=x... Em outras palavras, f leva (0,1) em
(1,+Inf), leva (1,+Inf) em (-Inf,-1), isto em (-1,0) e isto de volta em
(0,1). Pelo principio da casa dos pombos, dados 5 numeros tem de haver 2
deles em um desses 4 intervalos.... De algum jeito isto vai provar o
problema -- mas nao sei se os numeros que a gente quer ver sao os y_i, os
f(y_i) ou os f^(-1)(y_i).... Bom, serah que alguem consegue completar minha
ideia capenga?
Abraco,
Ralph
2012/8/9 Heitor Bueno Ponchio Xavier <heitor.iyp...@gmail.com>
> Estou com alguns problemas aqui que não estão saindo e agradeceria
> bastante ajuda.
>
> 01. Encontre todos os números ''n'' naturais tais que n² não seja divisor
> de n!
>
> 02.Prove que dentre quaisquer cinco reais y_1, y_2, y_3, y_4, y_5, existem
> dois que satisfazem:
> 0<= (y_i - y_j)/(1+(y_i)(y_j)) <=1.
>
